Graf

Vi omformulerar frågan:

Rita en graf som ligger under x-axeln och har en positiv lutning för x-värden mellan 3 och 7.

Ska jag inte ens räkna ut någonting?

Det behöver du inte i den här uppgiften.

Ska jag bara göra så?

Ja, det duger. Du uppfyller kriterierna i uppgiften.

Kan man rita dit något mer, eller är det godkänt så? Vill ju veta hur jag ska rita för bästa möjliga poäng i framtida prov osv. Det ska inte vara något på andra sidan om y-axeln?

Du kan rita på andra sidan av y-axeln men inte x-axeln för 3<x<7. Du kan därmed förlänga linjen till kvadrant tre.

Du kan också rita x^2 som du kan förskjuta neråt om du tycker att en linje är för tråkig.

EDIT:

Tog bort ett slarvigt uttryck.

Jag kan alltså dra ett streck från tex y = -6 till x = -7 ? Det där med $x^2$ förstod jag inte.

Typ såhär?

Nu drog du ett streck från (0,-6) till (-7,0). Strecket tillför ingenting men du får rätt på uppgiften ändå. Notera dock att funktionen inte blir deriverbar på hela sin definitionsmängd.

Här är vad jag menade med förskjuten x^2 tidigare.

Får linjen gå ovanför x-axeln?

Nu kan man alltså inte göra så mycke mer?

Linjen får inte gå ovanför x-axeln för x mellan 3 och 7. För x=8, som i din bild, får linjen gå över x-axeln.

Så det där är rätt? Men om jag hade ritat linjen rakt ovanför x = 7 så blir det felaktigt?

Vet inte om jag ska ge mig in på detta efter min miss med dubbelrot, men jag gör ett försök i alla fall.

Vi har två villkor f(x) < 0 och f'(x) > 0
Då kan man tänka så här. f'(x) kan t.ex. vara en positivt lutande rät linje.
För $3\le x\le 7$ så ska linjen vara ovan x-axeln.
Då kan man rita en sådan och få fram värden för en rät linje, enligt principen $y=kx+m$
Vilket t.ex. kan vara $f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2}x-1$ i detta fall.

Sedan kan man då ta fram $f\left(x\right)$ genom att tänka lite baklänges. För att justera den i höjdled kan man lägga till en negativ konstant som sedan försvinner i deriveringen.

För att kolla sig själv kan man sedan sätta in X=3 och X=7 i både f(x) och f'(x) och då ska de två givna villkoren ovan stämma.

Jag och ConnyN tolkar 'mellan 3 och 7' olika här. Min tolkning är $3 < x < 7$ där ändpunkterna 3 och 7 inte ingår. ConnyN tolkar 'mellan 3 och 7' som $3\le x\le 7$, dvs $3 < x < 7$ inklusive talen 3 och 7.

Så det där är rätt? Men om jag hade ritat linjen rakt ovanför x = 7 så blir det felaktigt?

Det beror på din tolkning av 'mellan 3 och 7'. Hur skulle då en sådan linje se ut som går rakt ovanför 7 men som uppfyller f(x)<0? Din linje får inte skära x-axeln 'mellan 3 och 7' för då skulle funktionsvärdet (y-värdet) vara 0 i punkten.

Jag vet inte riktigt vilken tolkning jag har, har inte förstått till 100% än :(

Om du flyttar ner din linje 1 längdenhet (1 ruta i din figur) så uppfyller du båda tolkningarna.

Sådär då?

Du flyttar inte ner grafen då den har samma rötter vid $\pm 7$. Det du gör är att du 'töjer' den.

Flytta ner så:

Men då går den ju inte inom intervallet 3-7? 

 Jo, det gör den. Det är x-värden mellan 3 och 7 och inte y-värden vi pratar om här. Vi flyttar ner den blå grafen så att den hamnar där den röda finns i inlägget ovan.

Ja det är jag med på, tycker det ser ut som den "nya"linjen går igenom x=8 och x= -8

Jag gjorde samma tolkning som dig först Statement, men blev osäker och tog med 3 och 7.

Det var inte min mening att rätta det, min mening var att försöka ge lite tips och knep hur man kan angripa problemet från ett annat håll och förhoppningsvis få lite mer djupförståelse.

Att börja med funktionens derivata och sedan försöka klura ut själva funktionen har fungerat bra för mig och just tankesättet att sätta in X-värdena i funktionen och dess derivata ger ofta en bra bild både för förståelsen, men också för att kunna föreställa sig grafen.

Hoppas att du också kan få ut något av det Mona.

 Jag har läst igenom hela tråden flera gånger nu, men det faller verkligen inte ner :(

Jo om du tittar på grafen så ser du att tangenten har positiv lutning hela tiden från X>3 till X<7
Då är villkoret f'(X) > 0 uppfyllt.
Tittar du sedan på Y-värdet till grafen så ser du att det är mindre än noll mellan X>3 och X<7
Då är villkoret f(X) < 0 uppfyllt.

Ja! Då förstår jag, men vad är det mer exakt som jag ska ändra i min graf? :)

Jag vet inte hur djupt du vill gå?
Mitt förslag var att du skulle komma fram till en funktion som uppfyller kraven.
Är du med på det eller tycker du att det räcker med att rita upp den?
Som Statement mycket riktigt konstaterar så räcker det.

Det räcker ju absolut med att rita upp den, frågan är ju då om det kan vara smart att göra en funktion så jag vet hur man gör. Men hur ska jag rita grafen?

För att säkerställa att du har positiv lutning på tangenten hela vägen från X=3 till X=7 så väljer du enligt Statements graf ovan värden så att mitten på grafen hamnar till vänster om X=3 och att den passerar nollinjen till höger om X=7. Eller hur?

Du vill också att grafen ska ligga under nollinjen hela den vägen för att f(X) < 0

Du kan då välja två nollställen t.ex. $x=-8 och x=+8$ (7,5 och - 7,5 går givetvis också bra)
Då kan vi använda regeln för polynom på faktorform $f\left(x\right)=a(x-x_1)(x-x_{2)}$
Vi får då $f\left(x\right)=a(x+8)(x-8)$ vilket ger $f\left(x\right)=a(x^2-64)$

Har du nu en grafräknare så kan du skriva in det. Börja med a=1 och prova några olika värden på a så ser du vad som händer.

Sen bör du ta dig lite tid och experimentera med olika värden så du ser hur kurvan förändras.

När jag ändrar mitt a värde i grafräknaren, så flyttas vad jag förstår bara linjen ner. Med a= 1 skär den y-axeln vid -64.5 respektive x= 8.0 samt x= -8.0.

Om du skriver in $y=x^2-3x-64$ så ser du att grafen skjuts till höger, men nu gäller det att se upp.
Mittpunkten får inte hamna till höger om $x=3$ då får du negativ lutning på tangenten där.

Mittpunkten blev absolut förskjuten, men jag ser tyvärr inte vart jag kommer med detta? :(

Nu har vi en funktion som uppfyller villkoren. Ja det hade vi redan innan kanske du säger?
Tanken från min sida är bara att du ser att man kan flytta grafen i olika riktningar för att som i det här fallet uppfylla ett villkor. Du kan höja och sänka den och vidga den m.m.

Om du deriverar den och ritar in den grafen också så ser du att $f\text{'}\left(x\right)>0$ också är uppfyllt för intervallet.

$$\begin{gathered} y= x^2 - 3x -64 \\ y´= 2x -3 \end{gathered}$$

Nu blev den jätte konstig?

Men nu räcker det alltså om jag ritar upp grafen  till y= $x^2- 3x -64$ och sätter den som svar?

Utan någon uträkning eller ska det finnas uträkning till?

Den visar i alla fall att den är positiv före X=3 och det räcker för att uppfylla villkoret.

Nu kan du sätta in $f\left(3\right) och f\left(7\right)$ i ekvationen så ser du att det ger negativa värden och gör du detsamma för derivatan så får du positiva värden.

Hur mycket du redovisar eller vad som behöver redovisa vet jag inte, men det är väl ingen nackdel om du har tid.

Hoppas att det här har givit dig något?

Det har det nog absolut gjort, det måste bara få sätta sig riktigt, jag tror jag ritar grafen och sätter endast den som svar, osäker på hur jag ska framföra själva uträkningen. Så jag nöjer mig nog här :)

Denna borde då duga?

Tack för alla förklarningar!!

Tack själv. Roligt med samarbete!