Minimi eller maximipunkt (Matematik/Matte 3/Derivata)

Tänk på att andraderivatan är förändringen av derivatan. Om vi går från vänster till höger över en maxipunkt, kommer funktionens värde att öka, först snabbt, men sedan allt mer sakta, tills vi når maxpunkten, och sedan kommer funktionsvärdet sakta att minska, men sedan minska allt snabbare.

Derivatans värde kommer då att börja på ett stort positivt värde, men sedan minska mer och mer, tills värdet blir noll (när vi når maxpunkten), och sedan kommer derivatans värde att bli negativt därefter.

Förändringen i derivatan är att derivatan går från positiv till negativ, vilket innebär att andraderivatan (derivatans derivata) kommer att vara negativ kring maxpunkten.

Prova att applicera samma process för en minimipunkt; vad händer med funktionsvärdet? Hur påverkas derivatan? Hur påverkas derivatan av derivatan? :)

Se bild för visualisering av Smutstvätts svar.

Ger de dig en förståelse för varför sambanden f'(a) = 0 och f''(a) < 0 indikerar en maxpunkt?

Fråga gärna om de inte gör det.

Men om de gör det så är en bra övning för dig att göra på samma sätt för en funktion med minpunkt och en med terrasspunkt.

Smutstvätt skrev:
Förändringen i derivatan är att derivatan går från positiv till negativ, "vilket innebär att andraderivatan (derivatans derivata) kommer att vara negativ kring maxpunkten."

Varför?

Detta förstår jag helt och hållet, det jag inte förstår är varför andraderivatan är negativ? Varför innebär det att vi har en maximipunkt om andraderivatan är negativ i den punkten. Allt annat förstår jag helt och hållet. :)

Yngve skrev:
Se bild för visualisering av Smutstvätts svar.

Ger de dig en förståelse för varför sambanden f'(a) = 0 och f''(a) < 0 indikerar en maxpunkt?

Fråga gärna om de inte gör det.

Jag är inte med på varför/hur f'(a)=0 och f''(a)<0 innebär att det blir en maximipunkt? Jag förstår allt annat, men det klickar inte. Varför innebär de två villkoren att vi får en maximipunkt? Är det något underförstått bara eller kan man förklara det på något sätt?

Korra skrev:
Smutstvätt skrev:
Förändringen i derivatan är att derivatan går från positiv till negativ, "vilket innebär att andraderivatan (derivatans derivata) kommer att vara negativ kring maxpunkten."

Varför?

Detta förstår jag helt och hållet, det jag inte förstår är varför andraderivatan är negativ? Varför innebär det att vi har en maximipunkt om andraderivatan är negativ i den punkten. Allt annat förstår jag helt och hållet. :)

Om en funktions värde f(x) avtar, är derivatan negativ. Om en funktion går från ökande till konstant, till negativ, kommer derivatan att minska i intervallet.

Om vi nu ser derivatan som en egen funktion, g(x), har vi en funktion vars värde går från positivt till negativt. Derivatan av denna funktion kommer då att vara negativ, eftersom funktionen är avtagande.

Det gäller då att $g'(x)<0$ . Men eftersom vi definierade $g(x)$ som $g(x)=f'(x)$ , är $g'(x)=f''(x)$ .

Jag gar två alternativa sätt att förklara det på, jag börjar med ena och om det inte blir klarare så säg till så provar jag på ett annat sätt.

Om det gäller att $f''(a) > 0$ så betyder detta att f'(x) är växande vid x=a. Eftersom $f'(a)=0$ så betyder detta att $f'(x)$ brukade vara negativ och håller precis på att byta till något positivt. Tvärtom gäller ifall $f''(x) <0$ . Tänk också på att när $f''(x)=0$ så har vi en inflektionspunkt, dvs grafen övergår från konkav till konvex eller konvex till konkav.

Dracaena skrev:
Eftersom $f'(a)=0$ så betyder detta att $f'(x)$ brukade vara negativ och håller precis på att byta till något positivt.

f''(a)>0, fine. Men då menar man att i slutändan (efter extrempunkten) kommer derivatans funktionsvärde att vara positivt. Med den vetskapen och även att vi faktiskt har ett x som uppfyller f'(x)=0 så vet jag nu att vi har ett extremvärde och något sånt.

Är det alltså något som fortfarande är oklart eller är vi alla överens? :)

Korra skrev:
Yngve skrev:
Se bild för visualisering av Smutstvätts svar.

Ger de dig en förståelse för varför sambanden f'(a) = 0 och f''(a) < 0 indikerar en maxpunkt?

Fråga gärna om de inte gör det.

Jag är inte med på varför/hur f'(a)=0 och f''(a)<0 innebär att det blir en maximipunkt? Jag förstår allt annat, men det klickar inte. Varför innebär de två villkoren att vi får en maximipunkt? Är det något underförstått bara eller kan man förklara det på något sätt?

Förstår du bilden och hur de tre graferna hänger ihop?

Dvs OM grafen till f(x) ser ut som den överst på bilden, så kommer grafen till f'(x) att se ut som den i mitten av bilden och grafen till f''(x) att se ut som den längst ner på bilden?

Dracaena skrev:
Jag gar två alternativa sätt att förklara det på, jag börjar med ena och om det inte blir klarare så säg till så provar jag på ett annat sätt.

Om det gäller att $f''(a) > 0$ så betyder detta att f'(x) är växande vid x=a. Eftersom $f'(a)=0$ så betyder detta att $f'(x)$ brukade vara negativ och håller precis på att byta till något positivt. Tvärtom gäller ifall $f''(x) <0$ . Tänk också på att när $f''(x)=0$ så har vi en inflektionspunkt, dvs grafen övergår från konkav till konvex eller konvex till konkav.

Alltså det är inte lätt för mig att greppa detta helt men jag förstår på ett ungefär. Men jag kan inte bita tag i det så bra med tankarna.

f''(a)>0 och f'(a)=0 Det betyder att f'(a) håller på att växa och kommer bli större än 0. Detta innebär att f(x)-värdet minskar först, blir 0 och sedan ökar. Vilket ger en minimipunkt. Men då kommer en till fundering, tänk om f''(a)>0 bara i punkten a? Och att när x>a så gäller inte längre f''(a+h)>0 ? Hur vet vi då att den fortsätter växa? Med andra ord, andraderivatan kanske inte är konstant ökande?

Om jag inte tänker fel nu.

Yngve skrev:
Korra skrev:
Yngve skrev:
Se bild för visualisering av Smutstvätts svar.

Ger de dig en förståelse för varför sambanden f'(a) = 0 och f''(a) < 0 indikerar en maxpunkt?

Fråga gärna om de inte gör det.

Jag är inte med på varför/hur f'(a)=0 och f''(a)<0 innebär att det blir en maximipunkt? Jag förstår allt annat, men det klickar inte. Varför innebär de två villkoren att vi får en maximipunkt? Är det något underförstått bara eller kan man förklara det på något sätt?

Förstår du bilden och hur de tre graferna hänger ihop?

Dvs OM grafen till f(x) ser ut som den överst på bilden, så kommer grafen till f'(x) att se ut som den i mitten av bilden och grafen till f''(x) att se ut som den längst ner på bilden?

Ja, det förstår jag och förstod jag redan innan.

Korra skrev:

Ja, det förstår jag och förstod jag redan innan.

OK vad bra.

Är du även med på att om f'(a) = 0 så är det fråga om en stationär punkt, dvs det är antingen en minimipunkt, en maximipunkt eller en terrasspunkt?

Yngve skrev:
Korra skrev:

Ja, det förstår jag och förstod jag redan innan.

OK vad bra.

Är du även med på att om f'(a) = 0 så är det fråga om en stationär punkt, dvs det är antingen en minimipunkt, en maximipunkt eller en terrasspunkt?

Aa, det vet jag också.

OK bra.

Om f'(a) = 0 så är det alltså något av följande fyra fall som gäller vid x = a:

Funktionen har en maxpunkt
Funktionen har en minpunkt
Funktionen har en terrasspunkt (avtagande)
Funktionen har en terrasspunkt (växande)

Vi har redan skissat de principiella utseendena för graferna till f(x), f'(x) och f''(x) för fall 1, dvs då det gäller en maxpunkt.

Skissa nu på motsvarande sätt de tre grafernas principiella utseende i de andra tre fallen och jämför de fyra fallen.

Ser du då att följande villkor gäller?

Om f'(a) = 0 och f''(a) < 0 så är det en maxpunkt.
Om f'(a) = 0 och f''(a) > 0 så är det en minpunkt.

Yngve skrev:
OK bra.

Om f'(a) = 0 så är det alltså något av följande fyra fall som gäller vid x = a:

Funktionen har en maxpunkt

Funktionen har en minpunkt

Funktionen har en terrasspunkt (avtagande)

Funktionen har en terrasspunkt (växande)-

Vi har redan skissat de principiella utseendena för graferna till f(x), f'(x) och f''(x) för fall 1, dvs då det gäller en maxpunkt.

Skissa nu på motsvarande sätt de tre grafernas principiella utseende i de andra tre fallen och jämför de fyra fallen.

Kommer det hjälpa mig att förstå varför det blir så eller bara att det blir så? Jag kan redan blint acceptera det faktumet annars. Jag ville förstå varför vi får extrempunkter med dessa karaktärer beroende på omständigheterna. Det är vad du försöker förklara va?

Förstår inte vad du menar att jag ska skissa.

Jag tror att jag förstår nu.

Vi tar ett annat exempel, f(3)=1, f'(3)=0 och f''(x)<0 för alla x.

Nu vet jag att det finns antingen en minimi/maximi punkt där x=3.
Vi vet att funktionens lutning kommer avta hela tiden, alltså lutningen börjar med ett stort värde och sedan avtar den hela tiden. Det måste då innebära att lutningen kommer gå från positiv->0->negativ. Därmed bildas en maximipunkt. Och tvärtom ifall f''(x)>0 för alla x, eftersom lutningen skulle ha ett väldigt litet värde först och sedan öka i värde.

Tack för informationen.

Till att börja med: Det är inte så att alla maxpunkter (minpunkter) karaktäriseras av f'(a) = 0 och f''(a) < 0 (f''(a) > 0) utan det är istället tvärtom, att om f(a) = 0 och f''(a) < 0 (f''(a) > 0) så har funktionen en maxpunkt (minpunkt) vid (a, f(a)). Två bra exempel på detta är funktionsuttrycken x⁴ och -x⁴, där både första- och andraderivatorna är lika med 0 i origo, trots att origo är min- och maxpunkt.

Jag menade att du på samma sätt som i det här inlägget ska skissa de tre graferna f(x), f'(x) och f''(x) i fall 2, 3 och 4 från mitt senaste svar. Blev det tydligare då?

Du kan se dessa grafer som illustrationer till de textuella svar du fått tidigare i denna tråd.

Om du förstår varför grafernas principiella utseende är just dessa så förstår du förhoppningsvis även varför kriterierna för maxpunkt/minpunkt som jag angav i slutet av detta svar gäller.

Du behöver då inte "blint acceptera det faktumet" utan du har då fått förståelsen varför det måste vara så.

Korra skrev:
Vi tar ett annat exempel, f(3)=1, f'(3)=0 och f''(x)<0 för alla x.

Nu vet jag att det finns antingen en minimi/maximi punkt där x=3.
Vi vet att funktionens lutning kommer avta hela tiden, alltså lutningen börjar med ett stort värde och sedan avtar den hela tiden. Det måste då innebära att lutningen kommer gå från positiv->0->negativ. Därmed bildas en maximipunkt. Och tvärtom ifall f''(x)>0 för alla x, eftersom lutningen skulle ha ett väldigt litet värde först och sedan öka i värde.

Tack för informationen.

Ja! Och detta kan illustreras med hjälp av graferna som jag har tjatat om.

Yngve skrev:
Korra skrev:
Vi tar ett annat exempel, f(3)=1, f'(3)=0 och f''(x)<0 för alla x.

Nu vet jag att det finns antingen en minimi/maximi punkt där x=3.
Vi vet att funktionens lutning kommer avta hela tiden, alltså lutningen börjar med ett stort värde och sedan avtar den hela tiden. Det måste då innebära att lutningen kommer gå från positiv->0->negativ. Därmed bildas en maximipunkt. Och tvärtom ifall f''(x)>0 för alla x, eftersom lutningen skulle ha ett väldigt litet värde först och sedan öka i värde.

Tack för informationen.

Ja! Och detta kan illustreras med hjälp av graferna som jag har tjatat om.

Jag förstod det inte så när du förklarade, jag insåg det själv när jag gjorde en till uppgift. Tack.

Korra skrev:
Jag förstod det inte så när du förklarade, jag insåg det själv när jag gjorde en till uppgift. Tack.

Ja, det är ofta så att den riktiga förståelsen kommer först vid egna insatser, som att försöka förklara något för någon annan eller för sig själv i samband med lösandet av liknande uppgifter.

(Det var därför jag ville att du själv skulle skissa de andra graferna.)

Yngve skrev:
Korra skrev:
Jag förstod det inte så när du förklarade, jag insåg det själv när jag gjorde en till uppgift. Tack.

Ja, det är ofta så att den riktiga förståelsen kommer först vid egna insatser, som att försöka förklara något för någon annan eller för sig själv i samband med lösandet av liknande uppgifter.

(Det var därför jag ville att du själv skulle skissa de andra graferna.)

Very good, försökte förstå förklaringarna som gavs här också. ;)

Det är intr alltid lätt att förstå oavsett hur mycket man läser något.

Jag minns när jag skulle lära mig epsilon-delta beviset (du kanske minns det från envariabeln), jag vet inte hur många gånger jag läste beviset. 3-4 youtube videos senare så började jag greppa det efter jag löst samma sida flertal gånger.

Poängen är att vissa saker kommer in klicka direkt, se till att du gör som du gjorde här och inte ger upp och ser till att du verkligen förstår varför. Att blint acceptera satser är ofta anledningen till att många studenter fastnar och inte kan greppa någonting alls eftersom all deras kunskap är uppbyggd på att acceptera blinda satser och formler.

Dracaena skrev:
Det är intr alltid lätt att förstå oavsett hur mycket man läser något.

Jag minns när jag skulle lära mig epsilon-delta beviset (du kanske minns det från envariabeln), jag vet inte hur många gånger jag läste beviset. 3-4 youtube videos senare så började jag greppa det efter jag löst samma sida flertal gånger.

Poängen är att vissa saker kommer in klicka direkt, se till att du gör som du gjorde här och inte ger upp och ser till att du verkligen förstår varför. Att blint acceptera satser är ofta anledningen till att många studenter fastnar och inte kan greppa någonting alls eftersom all deras kunskap är uppbyggd på att acceptera blinda satser och formler.

Very well said, tack för att du skriver det. Jag har samma syn som dig kring detta. Man får inte sluta försöka förstå även om det känns omöjligt. Tack för din inspiration.