Minimera materialkostnad!

Jag förstår inte riktigt din beräkning. Men ett centralt fel verkar vara när du skriver "Men eftersom dom vill att locket och botten skall vara dubbla tjocklek så antar jag att dom vill att man ska dubblera den arean"

Börja med att anta att materialet har tjockleken t i manteln och 2t i lock och botten. Ställ sedan upp ett uttryck för materialets volym. (dvs area*tjocklek).

När du har gjort det kan du börja förenkla. Du har rätt i att du kan använda $V=\pi r^{2}h$ för att bli av med h. Men du måste också tänka på vad som efterfrågas i uppgiften. Du vill ju ha ett uttryck för materialåtgången som funktion av förhållandet mellan höjd och diameter. Då kan du ställa upp $f=\frac{h}{d}=\frac{h}{2r}$

Sedan ska du finna det värde på f som ger minst materialåtgång.

Vad betyder det när du skriver "större än", >? Skall det föreställa en pil av något slag?

Det du skriver är lite svårt att hänga med på, eftersom du inte ger din funktion något namn. Om vi t ex kallar funktionen som beskriver materialåtgången som funktion av radien M(r) så har du med ord kommit fram till att $M(r)=4\pi r^2+\frac{2V}{r}$. I formler kan jag inte se att du har skrivit detta.

Sedan verkar du ha deriverat en icke namngiven funktion. Det är derivatan du skall sätta lika med 0 om du vll ha fram funktonens maximi- eller minimivärde. När du skriver d'(0) betyder det att du sätter in x-värdet x=0 i en funktion som heter d'(x) och beräknar funktionsvärdet. Vad du gör därefter klarar jag inte att tyda - värdet av derivatan i punkten x=0 är lika med ett uttryck som är större än ett annat uttryck som är lika med ett tredje uttryck. Obegripligt, åtminstone för mig.

På slutet verkar du ha kommit fram till hur radien beror på volymen (om du drar tredje roten ur båda sidor). Om stoppar in detta värde på $r$ i ekvationen $h=\frac{V}{\pi r^r}$ skulle du kunna få fram ett uttryck för höjden som funktion av volymen.

EDIT: skräp i LeTeX-formeln

Smaragdalena skrev:

Vad betyder det när du skriver "större än", >? Skall det föreställa en pil av något slag?

Det du skriver är lite svårt att hänga med på, eftersom du inte ger din funktion något namn. Om vi t ex kallar funktionen som beskriver materialåtgången som funktion av radien M(r) så har du med ord kommit fram till att $$M(r)}4\pi r^2+\frac{2V}{r}$$. I formler kan jag inte se att du har skrivit detta.

Sedan verkar du ha deriverat en icke namngiven funktion. Det är derivatan du skall sätta lika med 0 om du vll ha fram funktonens maximi- eller minimivärde. När du skriver d'(0) betyder det att du sätter in x-värdet x=0 i en funktion som heter d'(x) och beräknar funktionsvärdet. Vad du gör därefter klarar jag inte att tyda - värdet av derivatan i punkten x=0 är lika med ett uttryck som är större än ett annat uttryck som är lika med ett tredje uttryck. Obegripligt, åtminstone för mig.

På slutet verkar du ha kommit fram till hur radien beror på volymen (om du drar tredje roten ur båda sidor). Om stoppar in detta värde på $r$ i ekvationen $h=\frac{V}{\pi r^r}$ skulle du kunna få fram ett uttryck för höjden som funktion av volymen.

 Det har kommit skräp i din första Latex-formel. Jag tror det ska stå $M(r)=4\pi r^2+\frac{2V}{r}$

Med formelskaparen kan man göra fina pilar $\to$. Man kan skriva \rightarrow mellan dubbla dollartecken också: $\rightarrow$. Har man bara vanliga skrivmaskinstecken till förfogande kan man skriva ett minustecken och ett större än bredvid varandra: ->

Har nog rört till det lite ja!

Med ">" Menar jag nästa steg, eller pil som Laguna påtalade att man kunde göra i formelskaparen.

Jag vet inte hur jag ställer upp formeln. Förstår inte hur man ska tänka vid andra sånna här frågor heller.

$$\begin{gathered} A=t*2\mathrm{\pi rh} \\ \mathrm{V}=2\mathrm{t}*2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ h=\frac{V}{{\mathrm{\pi r}}^2} \end{gathered}$$
$M\left(r\right)=A+V=2t\mathrm{\pi r}\frac{V}{{\mathrm{\pi r}}^2}+4{\mathrm{t\pi r}}^2=(\mathrm{Faktorisera} här har jag sett i andra trådar)\hspace{0.17em}2\mathrm{\pi t}(\mathrm{r}\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{\pi r}}^2}+2{\mathrm{r}}^2)$

$=2\mathrm{t\pi }(\frac{\mathrm{rV}}{{\mathrm{\pi r}}^2}+2r^2)\Rightarrow 2t\mathrm{\pi }(\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{\pi r}}^{}}+2{\mathrm{r}}^2)$

Så här långt kommer jag och förstår

$M\text{'}\left(r\right)=2t\mathrm{\pi }(-\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{\pi r}}^2}+4\mathrm{r})$

Hej!

För att få burkens botten och topp dubbelt så tjocka som burkens sida ska du skära ut 4 stycken cirklar av diameter $2r$ och 1 rektangel (bas $2\pi r$ och höjd $h$) ur aluminiumplåt; två cirklar limmas ihop för att bilda topp eller botten.

Materialkostnaden minimeras genom att minimera den sammanlagda arean hos de utskurna bitarna.

    $A = 4 \cdot \pi r^2 + 2\pi r h$.

Burkens volym är $\pi r^2 h$ och den ska vara konstant lika med $V$.

Förhållandet mellan burkens höjd och diameter är $x = h/(2r)$ och ska användas för att uttrycka den sammanlagda arean. 

    $A(x) = 4\pi r^2 + 4\pi r^2 x = 4\pi r^2(1+x)$,

där $V = 2\pi r^3 x$ ska vara konstant vilket betyder att $r^3 = V/(2\pi x)$ så att

    $A(x) = 4\pi (V/(2\pi x))^{2/3}(1+x) = x^{-2/3}(1+x) \cdot 2^{4/3}\pi^{1\3} V^{2/3}$.

Problemet handlar nu om att finna det $x$ som minimerar $A(x)$.

En graf över funktionen $x^{-2/3}(1+x)$ indikerar ett globalt minimum (värdet $1.89$) vid $x = 2$, så att om burken är dubbelt så stor som dess diameter utnyttjas aluminiumplåten mest effektivt.

Kan jag göra såhär?

$$\begin{gathered} M\left(r\right)=A+V=4t{\mathrm{\pi r}}^2+2\mathrm{\pi rh} \\ =4{\mathrm{t\pi }}^{r2}+\frac{2\mathrm{\pi trV}}{{\mathrm{\pi r}}^2}\Rightarrow 4\mathrm{t\pi }{r}^2+\frac{2\mathrm{tV}}{\mathrm{r}} \\ \mathrm{M}\text{'}\left(\mathrm{r}\right)=8\mathrm{t\pi }r-\frac{2\mathrm{tV}}{{\mathrm{r}}^2}\Rightarrow \\ 0=8\mathrm{t\pi }r-\frac{2\mathrm{tV}}{{\mathrm{r}}^2}\Rightarrow 8\mathrm{t\pi }r=2tV*r^-2\Rightarrow \frac{8\mathrm{t\pi }r}{2t}=V*r^-2\Rightarrow 4\mathrm{\pi r}=\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(r^2\right)*4\mathrm{\pi r}=\frac{\mathrm{V}}{{\mathrm{r}}^2}*\left(r^2\right)\Rightarrow V=(\mathrm{Från} \mathrm{orginal} \mathrm{formeln} \mathrm{V}={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h})=4{\mathrm{\pi r}}^3\hspace{0.17em}\Rightarrow \\ \Rightarrow 4\overline{){\mathrm{\pi r}}^3}=\overline{){\mathrm{\pi r}}^2}\mathrm{h}\Rightarrow 4=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{r}} \end{gathered}$$

Förhållandet skall vara 4 mellan höjden och radien för att minimera materialkostnaden vid tillverkning

/J