13 svar

66 visningar

Dani163 behöver inte mer hjälp

Minimera arean av en ellips som innehåller en rektangel

Jag har stött på ett problem och skulle verkligen uppskatta er hjälp.

Uppgiften lyder:

"Bestäm den minsta arean som en ellips skiva $x^2 / a^2 + y^2 / b^2 \leq 1$ kan ha, om den ska innehålla rektangeln $-2 \leq x \leq 2$ , $-1 \leq y \leq 1$ ."

Jag vet att arean av en ellips är $\pi \cdot a \cdot b$ , men jag vet inte hur jag ska hitta värdena på $a$ och $b$ . Är inte den grundläggande idén att lösa problemet genom att substituera in hörnen av rektangeln?

Det är den enda metoden jag känner till för att hitta $a$ och $b$ . Om vi substituerar in hörnet $(2, 1)$ i ellipsekvationen får vi:

$\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2} \leq 1$

Om vi löser för $a$ , får vi:

$\frac{4}{a^2} \leq 1 - \frac{1}{b^2}$

Och sedan byter vi plats mellan $a^2$ och högerledet, så att vi får:

$\frac{4}{1 - \frac{1}{b^2}} \leq a^2$

Hur fortsätter jag härifrån?

Minimeras $a$ och $b$ genom att sätta vänsterledet lika med $a^2$ ? Så att vi får:

$\frac{4}{1 - \frac{1}{b^2}} = a^2$

Då blir:

$\pm \frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{b^2}}} = a$

Så arean blir:

$\pi \cdot b \cdot \pm \frac{2}{\sqrt{1 - \frac{1}{b^2}}} = \pi \cdot a \cdot b$

Jag känner att jag kanske har tappat bort något eller att jag inte har fått till det helt rätt. Kan någon hjälpa mig att reda ut detta?

Det slutliga svaret ska bli $4\pi$ .

Tack på förhand!

Du har en relation mellan a och b, du väljer att uttrycka b i a, det går bra.

Därefter sätter du upp en funktion för arean som beror på b, A(b).

Hur minimerar du arean nu? Hint: derivera.

Calle_K skrev:
Du har en relation mellan a och b, du väljer att uttrycka b i a, det går bra.

Därefter sätter du upp en funktion för arean som beror på b, A(b).

Hur minimerar du arean nu? Hint: derivera.

Är det tänkt att man ska derivera det här hela funktionen $\frac{2b\pi}{\sqrt{1-\frac{1}{b^2}}}$ m.a.p. b, och likställa med noll?

själva deriveringsprocessen ser jag skulle vara en omständig process, finns det något sätt man kan göra det lätt för sig?

Jag kan inte se någon annan metod på rak arm. Men deriveringen är inte så svår, bara tillämpa kvotregeln och kedjeregeln på nämnaren.

Calle_K skrev:
Jag kan inte se någon annan metod på rak arm. Men deriveringen är inte så svår, bara tillämpa kvotregeln och kedjeregeln på nämnaren.

Då tänker jag att man kan bryta ut 2*pi, och sen får vi b/sqrt(g(b)), derivatan blir då b’g - g’b / (g(b))^2

Då får jag $A'(b) = \frac{2\pi \left( 1 - \frac{2}{b^2} \right)}{(1 - \frac{1}{b^2})^{3/2}}$

Vad gör man näst?

Likställ med 0

Calle_K skrev:
Likställ med 0

Tänker att nämnaren får inte vara 0. Då får vi täljaren = 0, och vi delar med 2pi på båda sidor, får 1-(2/b^2) = 0, b = +- roten ur 2.

Ska man nu lösa för a?

Vi får då 2*roten ur 2 för a, och om vi stoppar in det i formeln för ellipsens area, blir det 4pi. Vilket är det korrekta svaret.

Men en fråga, varför behövde vi likställa i detta steget?

Yes

Calle_K skrev:
Yes

Jag hann inte redigera mitt inlägg i tid, men jag ställde en till fråga längst ner ovanför din kommentar. Kan du förtydliga det steget?

Tack i förhand

Punkterna ska hamna på ellipsens rand. De kan inte hamna innanför (det bryter mot antagandet). De kan inte heller hamna utanför eftersom att detta inte leder till minsta möjliga area.

Calle_K skrev:

Punkterna ska hamna på ellipsens rand. De kan inte hamna innanför (det bryter mot antagandet). De kan inte heller hamna utanför eftersom att detta inte leder till minsta möjliga area.

Kanske det är bara jag som inte kan visualisera varför de ska vara på ellipsens rand i mitt huvud, grafen jag ritade fick jag veta var icke korrekt. Jag undrar om det är möjligt ifall du kan visualisera för mig?

Jag provade att skicka till ChatGPT och den gav mig grafen i bilden. Förstår jag det rätt då att elipsens area blir minimal om man tar skillnaden mellan arean av hela ellipsen och arean av rektangeln?

Är du med på att punkterna inte kan vara utanför ellipsen?

Då återstår bara fallet att punkterna hamnar inom ellipsen. Men då finns det alltid en mindre ellips, som ligger närmre hörnpunkterna.

Notera att om en hörnpunkt ligger på ellipsens rand, kommer alla hörnpunkter ligga på randen. Så det räcker med att betrakta en kvadrant i grafen och inse att ellipsen minimeras om den skär hörnpunkten.

Calle_K skrev:
Är du med på att punkterna inte kan vara utanför ellipsen?

Jag antar eftersom att det är pga vi vill att ellipsen ska tangera rektangeln vid sina hörnpunkter, och vi är givna vilka gränser vi har för rektangeln.

Då återstår bara fallet att punkterna hamnar inom ellipsen. Men då finns det alltid en mindre ellips, som ligger närmre hörnpunkterna.

Är tanken här att vi kan stretcha ut ellipsen horisontellt och vertikalt, men att vi inte kan göra det samtidigt för då tangerar den inte längre rektangeln vid de givna gränserna?
Jag vet bara att A och b är de radier som sträcker ut ellipsen i de två riktningarna.

Notera att om en hörnpunkt ligger på ellipsens rand, kommer alla hörnpunkter ligga på randen. Så det räcker med att betrakta en kvadrant i grafen och inse att ellipsen minimeras om den skär hörnpunkten.

Jag hänger fortfarande dock inte med på detta om det jag skrev ovanför är tänkt i fel banor.

Var grafen fel ritad?

Grafen är rätt.

Om du behåller antingen a eller b fix och ökar (stretchar ut) den andra kommer ellipsen inte längre tangera hörnpunkten. Därmed är det inte den minimala arean. Visserligen kan du kompensera genom att minska den andra radien, men du gör det tills ellipsen tangerar hörnpunkten igen.

Slutsatsen vi drar är att ellipsen måste tangera hörnpunkterna. När vi vet detta finns det fortfarande oändligt många lösningar (vi har bara 1 relation mellan a och b, men värdena på a och b kan vara vilka som helst, sålänge relationen uppfylls). Vi hittar värdena på a och b genom att hitta minpunkten på areafunktionen, precis som du gjorde.

Svara

Visa senaste svar