Minimera area av triangel som bildas av tangent till elips

Var skär tangenten koordinataxlarna?

Det blir lite knasigt när du skriver att tangentens ekvation är $y=-\frac{2x^{\mathbf{2}}}{\sqrt{1-2x^2}}+m$, det stämmer inte riktigt. Tangentens ekvation är $y=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}x+m$, från någon punkt $(a, f(a))$ på kurvan. Om du ritar in tangentens ekvation kommer du annars att se att du inte får en rät linje.

Men vi kan sätta in en punkt på kurvan, som vi kan kalla $(a, f(a))$. Vi hade kommit fram till att ellipsens ekvation i kvadrant ett kan skrivas som $y=\sqrt{1-2x^2}$. Då måste en punkt på kurvan vara $(a, \sqrt{1-2a^2})$. Insättning av denna punkt ger oss att: 

$$\begin{gathered} \sqrt{1-2a^2}=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}·a+m \\ m=\sqrt{1-2a^2}+\frac{2a^2}{\sqrt{1-2a^2}} \\ m=\frac{\left(1-2a^2\right)+2a^2}{\sqrt{1-2a^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-2a^2}} \end{gathered}$$

Vår tangent har alltså ekvationen $y=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}x+\frac{1}{\sqrt{1-2a^2}}$. 

Använd sedan Dr. G:s tips om tangentens skärningar. :)

Smutstvätt skrev:

Det blir lite knasigt när du skriver att tangentens ekvation är $y=-\frac{2x^{\mathbf{2}}}{\sqrt{1-2x^2}}+m$, det stämmer inte riktigt. Tangentens ekvation är $y=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}x+m$, från någon punkt $(a, f(a))$ på kurvan. Om du ritar in tangentens ekvation kommer du annars att se att du inte får en rät linje.

Men vi kan sätta in en punkt på kurvan, som vi kan kalla $(a, f(a))$. Vi hade kommit fram till att ellipsens ekvation i kvadrant ett kan skrivas som $y=\sqrt{1-2x^2}$. Då måste en punkt på kurvan vara $(a, \sqrt{1-2a^2})$. Insättning av denna punkt ger oss att: 

$$\begin{gathered} \sqrt{1-2a^2}=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}·a+m \\ m=\sqrt{1-2a^2}+\frac{2a^2}{\sqrt{1-2a^2}} \\ m=\frac{\left(1-2a^2\right)+2a^2}{\sqrt{1-2a^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-2a^2}} \end{gathered}$$

Vår tangent har alltså ekvationen $y=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}x+\frac{1}{\sqrt{1-2a^2}}$. 

 

Använd sedan Dr. G:s tips om tangentens skärningar. :)

Aha, då förstår jag varför det blev lite knasigt. Jag försökte lösa det så du visade men hade som, som du ser, a=x vilket gav helt fel svar. Jag återkommer när jag testat detta sättet och ser om jag fått rätt!

TheDovah skrev:

Smutstvätt skrev:

Det blir lite knasigt när du skriver att tangentens ekvation är $y=-\frac{2x^{\mathbf{2}}}{\sqrt{1-2x^2}}+m$, det stämmer inte riktigt. Tangentens ekvation är $y=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}x+m$, från någon punkt $(a, f(a))$ på kurvan. Om du ritar in tangentens ekvation kommer du annars att se att du inte får en rät linje.

Men vi kan sätta in en punkt på kurvan, som vi kan kalla $(a, f(a))$. Vi hade kommit fram till att ellipsens ekvation i kvadrant ett kan skrivas som $y=\sqrt{1-2x^2}$. Då måste en punkt på kurvan vara $(a, \sqrt{1-2a^2})$. Insättning av denna punkt ger oss att: 

$$\begin{gathered} \sqrt{1-2a^2}=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}·a+m \\ m=\sqrt{1-2a^2}+\frac{2a^2}{\sqrt{1-2a^2}} \\ m=\frac{\left(1-2a^2\right)+2a^2}{\sqrt{1-2a^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-2a^2}} \end{gathered}$$

Vår tangent har alltså ekvationen $y=-\frac{2a}{\sqrt{1-2a^2}}x+\frac{1}{\sqrt{1-2a^2}}$. 

 

Använd sedan Dr. G:s tips om tangentens skärningar. :)

Aha, då förstår jag varför det blev lite knasigt. Jag försökte lösa det så du visade men hade som, som du ser, a=x vilket gav helt fel svar. Jag återkommer när jag testat detta sättet och ser om jag fått rätt!

Jag lyckades finna den rätta lösningen: $1/\sqrt2$. Tack för hjälpen!

Det är lätt hänt! Förhoppningsvis blir det rätt nu (när jag grafade tangenten ser det rätt ut, och tankegången checkar ut 😅). :)