Minimala avståndet mellan punkt och linje i R3

Bestäm minimala avståndet mellan punkten (1,-1,1) och linjen given med ekvationer på normal form: $\frac{x-2}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ .

Vad jag har börjat med var att flytta över allt till samma sida av likhetstecknets, vet inte om man får göra så? Efter lite förenkling får jag $x+2y-z+3=0$ , detta är ju ekvationen till ett plan så antar att jag är fel ute? min plan var att sedan ta fram en punkt i planet (-3,0,0) och använda mig av avståndsformeln $s=\frac{|A(x-x_1)+A(y-y_1)+A(z-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , där A,B,C=1,2,-1 är koefficienterna till normalen, x,y,z=1,-1,1 och $x_1=-3,y_1=0,z_1=0$ . Får dock svaret till $\frac{1}{3}$ istället för facits svar $1$ .

Misstänker att jag är helt fel ute så all hjälp uppskattas!

Träd flyttad från matematik 4 till matematik universitet. /Dracaena, moderator.

"Det är din ekvation, du får göra vad du vill med den" brukade min mattelärare säga, men du började med två ekvationer och har bara kvar en, så du har blivit av med information. Du har valt ett plan som linjen går i (om du räknat rätt, vilket jag inte kollat), och beräknat avståndet mellan det planet och punkten, men det kommer ju i allmänhet vara kortare än avståndet mellan linje och punkt.

En lösningsstrategi kan se ut ungefär såhär (rita en skiss så att du känner att du hänger med på varför!):

Välj en punkt $p_0$ på linjen
Beräkna vektorn $v=\overrightarrow{p_0p}$
Dela upp $v$ i en komponent parallell med linjen och en vinkelrät mot linjen, genom att projicera $v$ på linjen respektive subtrahera projektionen
Avståndet är längden på den vinkelräta komponenten.

haraldfreij skrev:
"Det är din ekvation, du får göra vad du vill med den" brukade min mattelärare säga, men du började med två ekvationer och har bara kvar en, så du har blivit av med information. Du har valt ett plan som linjen går i (om du räknat rätt, vilket jag inte kollat), och beräknat avståndet mellan det planet och punkten, men det kommer ju i allmänhet vara kortare än avståndet mellan linje och punkt.

En lösningsstrategi kan se ut ungefär såhär (rita en skiss så att du känner att du hänger med på varför!):

Välj en punkt $p_0$ på linjen

Beräkna vektorn $v=\overrightarrow{p_0p}$

Dela upp $v$ i en komponent parallell med linjen och en vinkelrät mot linjen, genom att projicera $v$ på linjen respektive subtrahera projektionen

Avståndet är längden på den vinkelräta komponenten.

Denna lösning är väl ändå lite för avancerad för matte 4?

haraldfreij skrev:
"Det är din ekvation, du får göra vad du vill med den" brukade min mattelärare säga, men du började med två ekvationer och har bara kvar en, så du har blivit av med information. Du har valt ett plan som linjen går i (om du räknat rätt, vilket jag inte kollat), och beräknat avståndet mellan det planet och punkten, men det kommer ju i allmänhet vara kortare än avståndet mellan linje och punkt.

En lösningsstrategi kan se ut ungefär såhär (rita en skiss så att du känner att du hänger med på varför!):

Välj en punkt $p_0$ på linjen

Beräkna vektorn $v=\overrightarrow{p_0p}$

Dela upp $v$ i en komponent parallell med linjen och en vinkelrät mot linjen, genom att projicera $v$ på linjen respektive subtrahera projektionen

Avståndet är längden på den vinkelräta komponenten.

Tack, jag tror jag klarar av stegen förutom första, hur hittar jag en punkt på linjen?

Välj tex x = 0, och räkna ut vad y och z måste vara i ett sådant fall.

beerger skrev:
Denna lösning är väl ändå lite för avancerad för matte 4?

Jag har dålig koll på innehållet i de olika kurserna, men när jag läser på verkar uppgiften å andra sidan ligga utanför alla gymnasiekurser i matte, och jag ser inte riktigt vilken annan lösning som skulle vara mer matte 4-kompatibel. Kurs 4 i Finlands "matematik lång" verkar däremot handla om just vektorer, så jag gissar att uppgiften kommer därifrån?

En alternativ lösningsmetod presenteras i den här videon: https://youtu.be/6NlQdmIBnqo. Den bygger på att att istället för att projicera på riktningsvektorn, explicit hitta den punkt $q$ på linjen där $\overrightarrow{p_0q}$ är vinkelrät mot $\overrightarrow{pq}$ . Det är väl en smaksak vilken metod som känns bekvämast (men såklart bäst om man förstår varför båda fungerar).

Cien, det står I reglerna att du skall lägga dina trådar under rätt delforum. Du märker nu snabbt förvirringen eftersom man är osäker på om du läser matte 4 eller något annat. Detta hör knappast till matte 4 och är förmodligen någon form av linjär algebra. Jag flyttar tråden men tänk på att i framtiden lägga de under rätt delforum så det är bättre ordning på forumet och du får tips som är relevanta för din nivå. /Dracaena, Moderator

haraldfreij skrev:
beerger skrev:
Denna lösning är väl ändå lite för avancerad för matte 4?

Jag har dålig koll på innehållet i de olika kurserna, men när jag läser på verkar uppgiften å andra sidan ligga utanför alla gymnasiekurser i matte, och jag ser inte riktigt vilken annan lösning som skulle vara mer matte 4-kompatibel. Kurs 4 i Finlands "matematik lång" verkar däremot handla om just vektorer, så jag gissar att uppgiften kommer därifrån?

Jag håller med, tänkte direkt på att lösa det med linjär algebra. Blev lite förvirrad och kommer inte ihåg om detta var något man förväntades kunna i matte 4. Blev då svårt att försöka presentera en lösning mha linjär algebra. Men nu verkar mod iaf ha flyttat till universitet.

Allt gott!

Svara

Visa senaste svar