min-/maxproblem

hej, behöver hjälp med följande uppgift:

"Bestäm ett värde på konstanten a så att y = sin ax har

b) två maximipunkter i intervallet $0 \leq x \leq π$

Jag har först deriverat funktionen och fått fram y'(x) = a cos ax, men villkoret för två maximipunkter är att y''(x)<0.

Därför deriverade jag funktionen igen och fick y''(x) = -a^2 sin ax

Men nu har jag fastnat. Hur ska jag komma vidare? Ställde upp följande ekvation men vet inte riktigt hur jag ska lösa den:

-a^2 sin ax < 0

Enklare metod:

Du vet att sinusfunktionens maxvärde är 1.

Du vet att ekvationen sin(ax) = 1 har lösningarna ax = pi/2 + n*2pi.

Kommer du vidare dårifrån?

Yngve skrev:
Enklare metod:

Du vet att sinusfunktionens maxvärde är 1.

Du vet att ekvationen sin(ax) = 1 har lösningarna ax = pi/2 + n*2pi.

Kommer du vidare dårifrån?

Nej, förstår inte riktigt hur det används i lösningen.

Menar du att det blir -a^2=0 då istället? För det ger ju inte rätt svar.

Fortsättning, säg till om du inte hänger med.

Lösningsmängden är

$ax=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

Dividera med $a$ :

$x=\frac{\pi}{2a}+\frac{n\cdot2\pi}{a}$

Du vill nu att det ska finnas två värden för $x$ i intervallet $0\leq x\leq\pi$ .

För $n=0$ så är lösningen $x=\frac{\pi}{2a}$ . För att den lösningen ska ligga i intervallet måste $a\geq\frac{1}{2}$ .
För $n=1$ så är lösningen $x=\frac{\pi}{2a}+\frac{2\pi}{a}=\frac{5\pi}{2a}$ . För att den lösningen ska ligga i intervallet måste $a\geq\frac{5}{2}$ .
För $n=2$ så är lösningen $x=\frac{9\pi}{2a}$ . För att den lösningen inte ska ligga i intervallet måste $a<\frac{9}{2}$ .

Sätt ihop dessa villkor så får du alla värden på $a$ som uppfyller villkoret att funktionen har exakt två maxpunkter i det givna intervallet.

Yngve skrev:
Fortsättning, säg till om du inte hänger med.

Lösningsmängden är

$ax=\frac{\pi}{2}+n\cdot2\pi$

Dividera med $a$ :

$x=\frac{\pi}{2a}+\frac{n\cdot2\pi}{a}$

Du vill nu att det ska finnas två värden för $x$ i intervallet $0\leq x\leq\pi$ .

För $n=0$ så är lösningen $x=\frac{\pi}{2a}$ . För att den lösningen ska ligga i intervallet måste $a\geq\frac{1}{2}$ .

För $n=1$ så är lösningen $x=\frac{\pi}{2a}+\frac{2\pi}{a}=\frac{5\pi}{2a}$ . För att den lösningen ska ligga i intervallet måste $a\geq\frac{5}{2}$ .

För $n=2$ så är lösningen $x=\frac{9\pi}{2a}$ . För att den lösningen inte ska ligga i intervallet måste $a<\frac{9}{2}$ .

Sätt ihop dessa villkor så får du alla värden på $a$ som uppfyller villkoret att funktionen har exakt två maxpunkter i det givna intervallet.

Aha, jag förstår nu! Tack!

Svara

Visa senaste svar