MGM och SGF
Kan du hitta två positiva heltal a och b så att sgf (a,b) = 12 och mgm (a,b) = 360?
Jag t'nker att b och a måste innehålla faktorn 12, så 12a och 12b. Men kommer ingenstans... :3
Du är på rätt spår! :D
Vi vet att både och innehåller faktorn 12, så vi kan skriva
och .
Eftersom 12 är den största gemensamma faktorn, så vet vi att och inte kan ha något mer gemensamt. Med andra ord: och har inga gemensamma primtalsfaktorer, utan .
För att ta reda på vad och kan vara för något utnyttjar vi att
(varför stämmer detta?).
Denna produkt ska enligt uppgiften vara lika med 360, dvs.
Vilka möjligheter ger detta för och ?
Tips: Faktorisera 360, och kom ihåg att och inte får ha några gemensamma primtalsfaktorer.
12 * 15 * 2? :)
Precis, och är en möjlighet!
Vill vi förklara detta lite mer utförligt skulle vi kunna skriva att vi förkortar likheten
med 12, så att vi får
, där .
Det innebär att en möjlighet är
,
vilket motsvarar
.
Kan du hitta fler exempel på vad och , respektive och kan vara för något?
Visst kan man tänka som du kanske menar, att eftersom det är mgm, så kan t.ex. 12k motsvara a och q motsvara b och det ska vara 360. Så då kan a vara = 2 och b = 15? :)
Var noggrann med att inte blanda ihop och , med respektive . De är inte samma sak!
Men ja, idén är rätt! Vi får mycket riktigt en annan lösning på problemet genom att bara byta plats på och , så att vi får
,
och
.
Finns det ännu fler lösningar?