5 svar
702 visningar
_Lucia_ 113
Postad: 1 maj 2018 18:42

MGM och SGF

Kan du hitta två positiva heltal a och b så att sgf (a,b) = 12 och mgm (a,b) = 360?

Jag t'nker att b och a måste innehålla faktorn 12, så 12a och 12b. Men kommer ingenstans... :3

oggih 1299 – F.d. Moderator
Postad: 1 maj 2018 18:59 Redigerad: 1 maj 2018 19:11

Du är på rätt spår! :D

Vi vet att både a och b innehåller faktorn 12, så vi kan skriva

   a=12·k och b=12·q.

Eftersom 12 är den största gemensamma faktorn, så vet vi att aa och bb inte kan ha något mer gemensamt. Med andra ord: kk och qq har inga gemensamma primtalsfaktorer, utan \sgf(k,q)=1\sgf(k,q)=1.

För att ta reda på vad kk och qq kan vara för något utnyttjar vi att

   mgm(a,b)=12·k·q (varför stämmer detta?).

Denna produkt ska enligt uppgiften vara lika med 360, dvs.

   12·k·q=360.12\cdot k\cdot q=360.

Vilka möjligheter ger detta för kk och qq?

Tips: Faktorisera 360, och kom ihåg att kk och qq inte får ha några gemensamma primtalsfaktorer.

_Lucia_ 113
Postad: 1 maj 2018 19:02

12 * 15 * 2? :)

oggih 1299 – F.d. Moderator
Postad: 1 maj 2018 19:15 Redigerad: 1 maj 2018 19:21

Precis, k=15 och q=2q=2 är en möjlighet!


 Vill vi förklara detta lite mer utförligt skulle vi kunna skriva att vi förkortar likheten

  12·q·k=360

med 12, så att vi får

   q·k=30, där 30=5·3·2.

Det innebär att en möjlighet är 

   k=5·3 
   q=2q=2,

vilket motsvarar

   a=12·k=12·5·3=180  
   b=12·q=12·2=24.


 Kan du hitta fler exempel på vad kk och qq, respektive aa och bb kan vara för något?

_Lucia_ 113
Postad: 1 maj 2018 19:19

Visst kan man tänka som du kanske menar, att eftersom det är mgm, så kan t.ex. 12k motsvara a och q motsvara b och det ska vara 360. Så då kan a vara = 2 och b = 15? :)

oggih 1299 – F.d. Moderator
Postad: 1 maj 2018 19:24 Redigerad: 1 maj 2018 19:26

Var noggrann med att inte blanda ihop aa och bb, med kk respektive qq. De är inte samma sak!

Men ja, idén är rätt! Vi får mycket riktigt en annan lösning på problemet genom att bara byta plats på kk och qq, så att vi får

  k=2 
  q=15,

och 

  a=24
  b=180.

Finns det ännu fler lösningar?

Svara
Close