MGM och SGF

Du är på rätt spår! :D

Vi vet att både $a$ och $b$ innehåller faktorn 12, så vi kan skriva

   $a=12·k$ och $b=12·q$.

Eftersom 12 är den största gemensamma faktorn, så vet vi att $a$ och $b$ inte kan ha något mer gemensamt. Med andra ord: $k$ och $q$ har inga gemensamma primtalsfaktorer, utan $\sgf(k,q)=1$.

För att ta reda på vad $k$ och $q$ kan vara för något utnyttjar vi att

   $\mathrm{mgm}(a,b)=12·k·q$ (varför stämmer detta?).

Denna produkt ska enligt uppgiften vara lika med 360, dvs.

   $12\cdot k\cdot q=360.$

Vilka möjligheter ger detta för $k$ och $q$?

Tips: Faktorisera 360, och kom ihåg att $k$ och $q$ inte får ha några gemensamma primtalsfaktorer.

12 * 15 * 2? :)

Precis, $k=15$ och $q=2$ är en möjlighet!

 Vill vi förklara detta lite mer utförligt skulle vi kunna skriva att vi förkortar likheten

  $12·q·k=360$

med 12, så att vi får

   $q·k=30$, där $30=5·3·2$.

Det innebär att en möjlighet är 

   $k=5·3$ 
   $q=2$,

vilket motsvarar

   $a=12·k=12·5·3=180$  
   $b=12·q=12·2=24$.

 Kan du hitta fler exempel på vad $k$ och $q$, respektive $a$ och $b$ kan vara för något?

Visst kan man tänka som du kanske menar, att eftersom det är mgm, så kan t.ex. 12k motsvara a och q motsvara b och det ska vara 360. Så då kan a vara = 2 och b = 15? :)

Var noggrann med att inte blanda ihop $a$ och $b$, med $k$ respektive $q$. De är inte samma sak!

Men ja, idén är rätt! Vi får mycket riktigt en annan lösning på problemet genom att bara byta plats på $k$ och $q$, så att vi får

  $k=2$ 
  $q=15$,

och 

  $a=24$
  $b=180$.

Finns det ännu fler lösningar?