metriskt rum

Är det bokens bevis som du kommenterar? $\rho$ är väl avståndsfunktionen, och sedan använder man triangelolikheten ett par gånger. Man vill ju komma från vänsterledet till något som liknar högerledet så man kan dra några slutsatser.

(Det är inte p, utan grekiska rho, men det kan inte bli någon förväxling i just den här uppgiften.)

ja det är från boken så jag har själva svaret eller lösningen men är inte med på alla steg.

Är du med på $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) + \rho(y,z)$?

inte riktigt, vad jag vet så har vi definitionerna $\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\le \left|x-y\right|$ och $\left|d\left(\rho ,r\right)-d\left(r,q\right)\right|\le d\left(\rho ,q\right)$

I detta fall kan vi väl ordna om ordningen inom parenteserna så att vi får $\left|\rho \left(z,x\right)-\rho \left(x,y\right)\right|\le \rho \left(z,y\right)$ så långt är jag med, men kan vi sedan bara flytta ur $\rho \left(x,y\right)$ från absolutbeloppet till HL ? 

Nu har jag inte slagit upp någonting, men jag tror att triangelolikheten är en nödvändig egenskap hos en metrik, och då gäller olikheten jag skrev.

Men jag tror att jag inte förstår vad som ska bevisas. Vad är u?

Jag misstänker att du kan ha skrivit av fel. Jag får det till att din olikhet inte gäller.