Metrisk topologi

Hej

jag har en uppgift inom metrisk topologi som jag har lite svårt att begripa hur man ska lösa.

Uppgiften är:

Låt $x, y \in ℝ^{n}$ vara distinka punkter. Bestäm det största värde av $ε \in ℝ^{+}$ sådant att $B_{ε} (x) \cap B_{ε} (y) = \emptyset$

Svaret ska bli $ε = \frac{1}{2} d (x, y)$

Jag förstår inte riktigt hur man ska göra för att lösa uppgiften. Vi ska alltså få att snittet av $ε$ -klotet för x och för y ska vara den tomma mängden, alltså ska dom inte ha några gemensamma element, men hur får man det till 1/2d(x,y)

Alltså: Hur stor kan radien för två lika stora kulor vara, om de inte skall överlappa varandra? Att svaret är "hälften så stort som avståndet mellan de båda punkterna" borde väl inte vara så konstigt.

Du har ju gjort hela den svåra delen av uppgiften! Och det fascinerande är att det stämmer för alla värden på $n$ .

En punkt $u \in B_\epsilon(x)\cap B_\epsilon(y)$ precis då $d(u,x)<>$ och $d(u,y)<>$ .

Triangelolikheten ger att

$d(x,y) \leq d(x,u)+d(u,y) <>$

så att $\epsilon > 0.5d(x,y).$ Detta medför att om $\epsilon \leq 0.5d(x,y)$ så följer det att $B_\epsilon(x)\cap B_\epsilon(y) = \emptyset$ .

Svara