Metalldetektor (Fysik/Universitet)

Det rektangulära valvet som man går igenom är 2 m högt och 1 m brett (och 20 cm djupt). Från mitten av den rektangeln är det närmaste avståndet 0,5 m (till långsidan) och det längsta avståndet är till hörnet, d v s hypotenusan i en triangel med sidorna 1 m och 0,5 m. Vet inte hur facit fick fram 0,25 m.

Erhm, vad är detta för kurs? Man ska alltså använda formeln för en cirkulär (kort) spole för att uppskatta magnetfältet i mitten av en rektangulär spole där kvoten mellan sidorna är lika med två... Det är så ofattbart dumt.

Facit skriver "kortaste avst till en ledare ar 0.25 m" för att sedan skriva "Kortaste avståndet är 0.5 m" så, ja, det är mycket oklart vad de menar. Det är förmodligen korrekt som Smaragdalena säger att de räknat ut avståndet på halva rektangelns diagonal vilken är lika med $\sqrt{1^2+0.5^2}\approx 1.12 \neq 1.13$ . I slutändan tror jag det viktigaste är hur ditt resonemang ser ut, inte det som står i facit vilket är ganska obegripligt.

Hur ser din lösning ut? Helt exakt lösning ser du nedan under spoiler:

Exakt lösning

Magnetfältets fältstyrka vid ett avstånd $R/2$ längs med bisektrisen från en kort rak ledare med längd $H$ genom vilken det löper en ström $I$ är:

$B = \dfrac{\mu _0 I}{\pi R}\cdot \dfrac{H}{\sqrt{H^2+R^2}}$

Vi får magnetfältet i mitten av en rektangulär ledare med bredd $R$ och höjd $H$ som:

$B = 2\dfrac{\mu _0 I}{\pi R}\cdot \dfrac{H}{\sqrt{H^2+R^2}}+2\dfrac{\mu _0 I}{\pi H}\cdot \dfrac{R}{\sqrt{H^2+R^2}} = 2\dfrac{\mu_0 I}{\pi}\cdot \dfrac{\sqrt{H^2+R^2}}{HR}$

Detta kan vi sedan enkelt multiplicera med antal lindningar $N$ . Slutligen, om vi jämför med facit (för en lindning $N=1$ ) får vi:

$\dfrac{\mu_0 I}{2r} = 2\dfrac{\mu_0 I}{\pi}\cdot \dfrac{\sqrt{H^2+R^2}}{HR}$

Alltså vi har att:

$r = \pi\dfrac{HR}{4\sqrt{H^2+R^2}}=\pi \dfrac{2\cdot 1}{4\sqrt{2^2+1^2}} =\dfrac{\pi}{2\sqrt{5}}\approx 0.7025... \ m$

Källa:

https://cnx.org/contents/UBPo-xuY@13.3:QW8ntuAW@10/Magnetic-field-due-to-current-in-straight-wire

Uppgiften är från kursen elektromagnetism och vågrörelselära. Jag använde pythagoras sats som du och Smaragdalena skrev det och fick fram 1,12, men det kändes som en ofullständig lösning att räkna ut det kortaste och längsta avståndet för att sedan addera ihop dessa och ta medelvärdet av det. Dessutom har jag tidigare aldrig sett formeln för en cirkulär kort spole så kände mig en aning förvirrad. Kunde inte komma på att använda Biot Savarts lag som du använde dig av. Tack så hemskt mycket för hjälpen! Har bara en följdfråga: hur kommer det sig att magnetfältet från den cirkulära korta spolen är lika med magnetfältet från ledaren? Borde det inte vara skillnad på ett magnetfältet från en ledare i jämförelse med en spole?

Leona11 skrev:
Uppgiften är från kursen elektromagnetism och vågrörelselära.

Oj, vad knepigt. Om det är den från KTH så har jag bara hört bra om den. Men ja, 2007 är ganska länge sedan.

Jag använde pythagoras sats som du och Smaragdalena skrev det och fick fram 1,12, men det kändes som en ofullständig lösning att räkna ut det kortaste och längsta avståndet för att sedan addera ihop dessa och ta medelvärdet av det.

Ja, det är det i min mening också. En mycket märklig uppgift om man ska göra en "uppskattning" då effektiva längden man måste använda nödvändigtvis kräver ett uttryck som innehåller förhållandet mellan sidorna på rektangeln. Inget som man förstår sig på så här tidigt i utbildningen.

Dessutom har jag tidigare aldrig sett formeln för en cirkulär kort spole så kände mig en aning förvirrad.

Okej! Ja, mycket har nog hänt i kursen på 15 år. Jag skulle kanske inte rekommendera att göra så här gamla tentamens-uppgifter då de kanske inte längre är representativa för vad som kommer examineras...

Kunde inte komma på att använda Biot Svarts lag som du använde dig av. Tack så hemskt mycket för hjälpen!

Ingen fara! Biot-Savarts lag är extremt kraftfull. Tekniskt sett använde jag inte den utan bara resultatet för en kort ledare men det är petitesser.

Har bara en följdfråga: hur kommer det sig att magnetfältet från den cirkulära korta spolen är lika med magnetfältet från ledaren? Borde det inte vara skillnad på ett magnetfältet från en ledare i jämförelse med en spole?

Hm, de är inte lika med varandra. Jag förstår inte exakt vad du menar. Syftar du på när jag satte uttrycken lika med varandra liksom nedan:

Ebola skrev:

Detta kan vi sedan enkelt multiplicera med antal lindningar $N$ . Slutligen, om vi jämför med facit (för en lindning $N=1$ ) får vi:

$\dfrac{\mu_0 I}{2r} = 2\dfrac{\mu_0 I}{\pi}\cdot \dfrac{\sqrt{H^2+R^2}}{HR}$

Notera här att jag skrev "...om vi jämför med facit..." vilket alltså betyder att jag söker den hypotetiska, karaktäristiska dimensionen $r$ som skulle ge oss det exakta svaret medelst den felaktiga formeln de åberopar i facit (den för en cirkulär kort spole).

Resultatet blev som bekant $r\approx 0.7025 \ m$ vilket visar att deras gissning på någonstans runt $0.6 \ m$ inte var så dålig även om sättet de fick fram den var under all kritik.

Jag förstår fortfarande inte riktigt. Jag förstår vad du menar med att facit hänvisar till en missvisande formel i fråga om formen(cirkulär vs rektangulär). Dock är uttrycket för magnetfältet från den (rektangulära) raka ledaren

$2 \frac{μ I}{π} \cdot \frac{\sqrt{H^{2} + R^{2}}}{H R}$ lika med magnetfältet från en (cirkulär) spole $\frac{μ I}{2 r}$ .

Leona11 skrev:
Jag förstår fortfarande inte riktigt. Jag förstår vad du menar med att facit hänvisar till en missvisande formel i fråga om formen(cirkulär vs rektangulär). Dock är uttrycket för magnetfältet från den (rektangulära) raka ledaren

$2 \frac{μ I}{π} \cdot \frac{\sqrt{H^{2} + R^{2}}}{H R}$ lika med magnetfältet från en (cirkulär) spole $\frac{μ I}{2 r}$ .

Vi har nog ett dödläge här då jag återigen ej heller förstår vad du menar. De är bara lika med varandra om man väljer:

$r = \pi \dfrac{HR}{4\sqrt{H^2+R^2}}$

Om något fortfarande är oklart får vi ta det över Zoom eller acceptera dödläget.