mera halvcirklar

Vet någon hur jag borde göra?

Kordasatsen är här en mycket bra idé.
Ännu bättre om man tänker sig kordor i hela den stora cirkeln, varav vi bara har hälften i figuren.
Lägg till den andra hälften också (även av den den lilla cirkeln).
Dra en ny korda i den stora cirkeln, lodrät, som delar den vågräta kordan mitt itu.

Låt  R  vara radien i den stora (halv)cirkeln och  r  radien i den lilla (halv)cirkeln.
Vad säger då kordasatsen?
Och vad är vi ute efter?

Vad säger du?

Menar du något i stil med det här?

Ska jag dra en korda genom den lilla cirkelns radie?

Flytta den vertikala kordan till vänster så att den tangerar den lilla cirkeln.

Nej, vad ska du med den till?
Men streck-dra gärna en horisontell diameter i den stora cirkeln, motsvarande basen i den givna figuren.

Arktos skrev:

Nej, vad ska du med den till?
Men streck-dra gärna en horisontell diameter i den stora cirkeln, motsvarande basen i den givna figuren.

Ska den se ut så här då?

Det ser bra ut.

Kan du nu uttrycka kordornas delar med  R  och  r  ?

Nej, jag vet inte. Jag har inte lärt mig så mycket om kordor tyvärr.

Det räcker att du läser av i figuren.
Den vertikala kordan delar den horisontella (som är 24) mitt itu, visst?
Den horisontella delar den vertikala i en större och en mindre del, visst?
Sätt ut  R  och   r   i figuren, så ser du snart hur stora delarna är  (uttryckta i R  och  r ).
Använd sedan kordasatsen.

Arktos skrev:

Det räcker att du läser av i figuren.
Den vertikala kordan delar den horisontella (som är 24) mitt itu, visst?
Den horisontella delar den vertikala i en större och en mindre del, visst?
Sätt ut  R  och   r   i figuren, så ser du snart hur stora delarna är  (uttryckta i R  och  r ).
Använd sedan kordasatsen.

Vilka delar menar du då?

Förlåt för den dumma frågan, men jag fick inte lära mig det här i skolan. Det här var något som jag lärde mig hemma.

Det är svårt, men jag kommer att lyckas.

Ursprunglig text:

"Vilka delar menar du då"

Den ihjälredigerade texten återställd av moderator

Nu är du nära!

Vilka delar?
Den ena kordan delar den andra i två delar
–  den vertikala i delarna  R+r  och   R–r   precis som du noterat
–  den horisontella (den som är 24 lång) delas mitt itu; hur stora är då delarna?
Och vad ger kordasatsen för samband mellan dessa delar?

https://wikiskola.se/index.php/Kordasatsen

Det klarar du ut nu.

Nästa fråga: Vad ska vi med detta till?
Jo, vi ska beräkna arean för det rosa området.
Skriv ett uttryck för denna area (uttryckt i R och r )

Det är pi(R^2-r²)/2= 72*pi. Svaret är alltså 72 gånger pi.

Tack så mycket för hjälpen Arkos!

Vilken strategi använde du för att lösa de här uppgifterna?  Var det bara kreativitet eller har du gjort sådana här uppgifter förut?

Fint! Bra jobbat!
Roligt att få följa dig på vägen.

Hur jag tänkte? (jag hade löst problemet, innan jag kommenterade ditt första inlägg)
Inspirerad av dig kollade jag upp kordasatsen. Snyggt bevis var det också i den länken.
Tillbaka till problemet. Där finns ju bara EN korda.
Jag måste ha en till för att kunna använda kordasatsen.
Kom just då inte på nåt bra.

Gick därför över till vad som söks, den rosa arean.
Den är skillnaden mellan [den stora halvcirkelns area] och [den lilla halvcirkelns area].
Kalla radierna   R   och   r .
Då kan den skrivas:  (π R^2 /2) – (π r^2 /2)  =  (R^2 – r^2)·π/2 .
Jaha...

Tillbaka till figuren.
En vågrät korda given.
Hur vore det att lägga till en lodrät korda som delar den vågräta mitt itu?
Vänta nu, kordorna måste ligga i samma cirkel för att kordasatsen ska gälla.
Rita därför ut hela cirkeln, dvs spegla figuren nedåt (i den vågräta diametern).

Resten vet du.
När man börjar sätta ut beteckningar i figuren klarnar det.
Kordasaten + konjugatregeln hjälpte till och plötsligt var allt på plats.
Vackert! Jag blev nästan förvånad...

Ingen speciell strategi.
Nyfikenhet och lång vana vid problemlösning.
Fastnar inte länge utan gör i stället någon annat ett tag.
Det var längesen jag höll på med "klassisk" geometri.
Det är fortfarande lika roligt.

Tack så mycket!

Det där kordabeviset är rätt så fint men kan tipsa om att det finns en tricklösning man kan använda också om man är säker på att problemet är lösbart. 

När jag såg på det där problemet så trodde jag att det var olösbart eftersom storleken på vita halvcirkeln inte var specificerad. Den kan ju vara liten eller stor och det borde ju påverka den rosa areans storlek. Men, vid lite eftertanke så måste det betyda att radien på lilla cirkeln inte spelar någon roll (vilket kordaresonemanget kan tas som ett bevis för).

Ett trick som dock gäller i matematik är att om en bit av information inte spelar någon roll (radien på lilla cirkeln) så kan man själv välja värdet på den storheten så att problemet blir så enkelt som möjligt. Oavsett vad dess radie är så är rosa områdets area alltid densamma -- så varför inte bara anta att den är 0?

Om lilla cirkelns radie är 0 så blir stora halvcirkelns diameter 24 och den rosa arean bara en halvcirkel med radie 12

$\frac{\pi 12^2}{2} = \frac{144 \pi}{2} = 72 \pi$

GIF-animation:

SeriousCephalopod skrev:

Det där kordabeviset är rätt så fint men kan tipsa om att det finns en tricklösning man kan använda också om man är säker på att problemet är lösbart. 

När jag såg på det där problemet så trodde jag att det var olösbart eftersom storleken på vita halvcirkeln inte var specificerad. Den kan ju vara liten eller stor och det borde ju påverka den rosa areans storlek. Men, vid lite eftertanke så måste det betyda att radien på lilla cirkeln inte spelar någon roll (vilket kordaresonemanget kan tas som ett bevis för).

Ett trick som dock gäller i matematik är att om en bit av information inte spelar någon roll (radien på lilla cirkeln) så kan man själv välja värdet på den storheten så att problemet blir så enkelt som möjligt. Oavsett vad dess radie är så är rosa områdets area alltid densamma -- så varför inte bara anta att den är 0?

Om lilla cirkelns radie är 0 så blir stora halvcirkelns diameter 24 och den rosa arean bara en halvcirkel med radie 12

$\frac{\pi 12^2}{2} = \frac{144 \pi}{2} = 72 \pi$

GIF-animation:

Visa spoiler

Intressant!

Till SeriousCephalopod:
Tack för denna lika eleganta som förbluffande generalisering (eller precisering?) av problemet!
Och för den medföljande dynamiska illustrationen! Jag satt länge och lekte med figuren.
Fantastiskt. Rena trolleriet!

Det är sant att problemet vid första påseende verkar olösligt eftersom man inte får veta mer om cirklarna än att den ena är mindre än den andra. Det enda som förefaller konstant är längden på den vågräta kordan.

Lösningen i tråden är därför ofullständig.
Den gäller bara i de fall då den mindre cirkelns diameter inte överstiger den större cirkelns radie,
dvs då 2r ≤ R. Det återstår därför att lösa problemet för övriga fall, dvs då  R < 2r < 2R .

Förslag?

Jag kan inte komma vidare med kordaresonemanget men har kommit vidare med ett nytt resonemang. 

Vi vet ju att arean i slutändan kommer att kunna räknas ut med hjälp av att ta skillnaden mellan arean hos en stor cirkel och arean hos en liten cirkel (delat med 2). 

Så om vi gör som ovan och kallar stora arean för $R$ och lilla radien för $r$ så blir uttrycket för rosa arean

$\frac{\pi R^2 - \pi r^2}{2} = \frac{\pi}{2}(R^2 - r^2)$

som ni redan skrivit ovan. Ibland kan man få idéer om en lösningsmetod genom att just kolla på ett uttryck och se om det finns något mönster som vi känner igen. Det som vi kan reagera på är att vi har en skillnad mellan två kvadrater $R^2 - r^2$. Pff so what? kanske man säger. Det var ju för att vi tog en skillnad mellan två areor, det är inget nytt. Jo!

Har vi inte stött på skillnader mellan kvadrater

$R^2 - r^2$

i något annat sammanhang? Ser inte det där ut som ett av delstegen man gör när man bestämmer en okänd katet hos en rätvinklig triangel med pythagoras sats? Om det fanns någon rätvinklig triangel med hypotenusa $R$ och kateter $r$ och $a$ så skulle vi ha

$a^2 + r^2 = R^2$ och $a^2 = R^2 - r^2$

En idé är således att fundera på om man kan dra några streck i figuren så att vi får en rätvinklig triangel med en sådan hypotenusa och katet, och då skulle den andra kateten vara vad vi behöver för att finna arean.

Övning: Försök hitta en sådan undangömd rätvinklig triangel i figuren. 

SeriousCephalopod skrev:

Jag kan inte komma vidare med kordaresonemanget men har kommit vidare med ett nytt resonemang. 

Vi vet ju att arean i slutändan kommer att kunna räknas ut med hjälp av att ta skillnaden mellan arean hos en stor cirkel och arean hos en liten cirkel (delat med 2). 

Så om vi gör som ovan och kallar stora arean för $R$ och lilla radien för $r$ så blir uttrycket för rosa arean

$\frac{\pi R^2 - \pi r^2}{2} = \frac{\pi}{2}(R^2 - r^2)$

som ni redan skrivit ovan. Ibland kan man få idéer om en lösningsmetod genom att just kolla på ett uttryck och se om det finns något mönster som vi känner igen. Det som vi kan reagera på är att vi har en skillnad mellan två kvadrater $R^2 - r^2$. Pff so what? kanske man säger. Det var ju för att vi tog en skillnad mellan två areor, det är inget nytt. Jo!

Har vi inte stött på skillnader mellan kvadrater

$R^2 - r^2$

i något annat sammanhang? Ser inte det där ut som ett av delstegen man gör när man bestämmer en okänd katet hos en rätvinklig triangel med pythagoras sats? Om det fanns någon rätvinklig triangel med hypotenusa $R$ och kateter $r$ och $a$ så skulle vi ha

$a^2 + r^2 = R^2$ och $a^2 = R^2 - r^2$

En idé är således att fundera på om man kan dra några streck i figuren så att vi får en rätvinklig triangel med en sådan hypotenusa och katet, och då skulle den andra kateten vara vad vi behöver för att finna arean.

Övning: Försök hitta en sådan undangömd rätvinklig triangel i figuren. 

Jag ska se om jag kan hitta en sådan sorts triangel.

Det här  blir bara roligare och roligare!

----------------------------------------
Till  Sebtheman:
Vad har hänt?
Har du strukit eller redigerat något av dina inlägg?
Du frågar  "Vilka delar menar du då"
Jag svarar    "Nu är du nära!
                     Vilka delar?
... Den ena kordan delar den andra i två delar
     –  den vertikala i delarna  R+r  och   R–r   precis som du noterat"
därför att du kom på det i ditt föregående inlägg, som nu är borta.

Där står det nu i stället  "Det är svårt, men jag kommer att lyckas."
och det är postat en timme efter mitt inlägg som därför blir obegripligt.

Kan du "ändra tillbaka" så att tråden hänger ihop?

Arktos skrev:

Det här  blir bara roligare och roligare!

----------------------------------------
Till  Sebtheman:
Vad har hänt?
Har du strukit eller redigerat något av dina inlägg?
Du frågar  "Vilka delar menar du då"
Jag svarar    "Nu är du nära!
                     Vilka delar?
... Den ena kordan delar den andra i två delar
     –  den vertikala i delarna  R+r  och   R–r   precis som du noterat"
därför att du kom på det i ditt föregående inlägg, som nu är borta.

Där står det nu i stället  "Det är svårt, men jag kommer att lyckas."
och det är postat en timme efter mitt inlägg som därför blir obegripligt.

Kan du "ändra tillbaka" så att tråden hänger ihop?

Ja, det kan jag absolut göra. Grejen var att jag kände mig osäker när jag skrev det inlägget. Sedan kunde jag inte heller radera det helt och hållet. Istället fick jag skriva något annat. Det var därför jag skrev att det var svårt, men att jag skulle lyckas.

Nu när jag tänker på det så finns det ingen knapp där det står "redigera" bredvid det inlägget, så jag vet inte hur jag ska ändra det.

Vad tokigt det kan bli. 
Man kan bara redigera sina inlägg upp till 2 timmar efter att man postat dem.
Vill man ändra senare får man be en moderator om hjälp.  
Vi kan väl ta detta som PM så det inte belastar tråden?

Arktos skrev:

Vad tokigt det kan bli. 
Man kan bara redigera sina inlägg upp till 2 timmar efter att man postat dem.
Vill man ändra senare får man be en moderator om hjälp.  
Vi kan väl ta detta som PM så det inte belastar tråden?

Jag vet inte vad PM betyder, men jag antar ändå att du vet vad du gör.

Det betyder här "privata meddelande".
Nu går jag till din profilsida och skickar ett till dig.
När det kommit fram kommer det upp en röd prick vid din symbol (uppe till höger).
Klicka då på din symbol och välj Privata meddelanden

Sebtheman, som du har fått höra är det inte tillåtet att "redigera ihjäl" ett inlägg som har blivit besvarat. Du märker säkert att du gjorde Arktos ledsen genom att förstöra tråden. Det är otacksamt och oförskämt att ändra på det viset. Tänk på det i fortsättingen! /moderator

Vad man kan bli låst av en figur! 

Lösningen i tråden är inte alls ofullständig.
Resonemanget med kordasatsen gäller för alla värden på radierna, där  r < R :
•  Den vågräta kordan har alltid längden 24 
    och tangerar den mindre cirkeln upptill. 
•  Den lodräta kordan är alltid en diameter i den större cirkeln.
    och den delar fortfaran den vågräta kordan mitt itu (12 + 12).
•  Den vågräta kordan delar fortfarande den lodräta i två olika stora delar,
   med längderna  R+r  och   R – r .

Kordasatsen ger därför alltid sambandet    12·12 = R^2 – r^2
och det rosa området får alltid arean  (R^2 – r^2)·π/2 = 72·π

Den mindre cirkeln måste hela tiden vara mindre än den större,  dvs  r < R.
När  r   växer från  0  upp mot  R  , kommer både  R   och   r  att växa,
men på ett sådant sätt att    R^2 – r^2   hela tiden är lika med  12·12 , 
eftersom längden på den vågräta kordan ska vara konstant och  lika med 24.
Se animationen i inlägget från SeriousCephalopod.

Som motvikt till figuren i uppgiftstexten bifogar jag en figur där 2r >  R, 

Arktos skrev:

Vad man kan bli låst av en figur! 

Lösningen i tråden är inte alls ofullständig.
Resonemanget med kordasatsen gäller för alla värden på radierna, där  r < R :
•  Den vågräta kordan har alltid längden 24 
    och tangerar den mindre cirkeln upptill. 
•  Den lodräta kordan är alltid en diameter i den större cirkeln.
    och den delar fortfaran den vågräta kordan mitt itu (12 + 12).
•  Den vågräta kordan delar fortfarande den lodräta i två olika stora delar,
   med längderna  R+r  och   R – r .

Kordasatsen ger därför alltid sambandet    12·12 = R^2 – r^2
och det rosa området får alltid arean  (R^2 – r^2)·π/2 = 72·π

Den mindre cirkeln måste hela tiden vara mindre än den större,  dvs  r < R.
När  r   växer från  0  upp mot  R  , kommer både  R   och   r  att växa,
men på ett sådant sätt att    R^2 – r^2   hela tiden är lika med  12·12 , 
eftersom längden på den vågräta kordan ska vara konstant och  lika med 24.
Se animationen i inlägget från SeriousCephalopod.

Som motvikt till figuren i uppgiftstexten bifogar jag en figur där 2r >  R, 

Det här verkar väldigt intressant, men är det här verkligen ett bevis på att det här endast gäller för värdena r<R eller finns det ett ännu tydligare bevis?

Endast?
Den ena cirkeln är alltid mindre än den andra, dvs r < R .
Hela problemet (och figurerna) bygger på det.

När jag såg animationen fick jag plötsligt för mig att beviset i tråden bara gäller när  2r ≤ R . Jag hade nämligen  inte tänkt mig någon annan situation än den som avbildas i uppgiftstexten.  Med den nya (bifogade) bilden kunde jag se att samma bevis gäller även när 2r > R.

Tydligen hade jag låst mig vid den första figuren!  
Vi är vana vid att geometriska figurer ligger still, medan vi beräknar en eller annan vinkel, sträcka eller area. Men så är det inte här, vilket SeriousCephalopod så tydligt visade. Det är väl också därför som problemet till en början kan förefalla olösligt. Vi får ju inte veta mer om radierna än att den ena är mindre än den andra! Hur ska vi då kunna beräkna den sökta arean?

Det är den givna vågräta kordan som håller hela konstruktionen i ett järngrepp! Radierna tillåts visserligen att variera men bara på ett sådan sätt att den rosa arean förblir konstant.  Kolla animationen igen!

Detta är ju ett underbart exempel!
•  Var kommer det ifrån? Finns där fler i samma stil?
•  Det hör nog inte till åk9, eftersom kordasatsen inte dyker upp förrän i Matte2

Arktos skrev:
•  Var kommer det ifrån? Finns där fler i samma stil?
•  Det hör nog inte till åk9, eftersom kordasatsen inte dyker upp förrän i Matte2

Hemsidan framgår i bilden av uppgiften. Pythagoras Quest är en mattetävling för högstadieelever, så det är troligen inte kordasatsen som är den tänkta metoden. Men som SeriousCephalopod hintade om kan den lösas med Pythagoras sats istället. Verkligen ett tjusigt problem!

Tack!
Från klarhet till klarhet – nu kan jag också "se" den rätvinkliga triangeln :-)

Arktos skrev:

Tack!
Från klarhet till klarhet – nu kan jag också "se" den rätvinkliga triangeln :-)

Är det den som delar cirkelns diameter i två radier?

tomast80 skrev:

Tack så mycket tomast80!