Mer Randvärdesproblem

Hej igen! Här kommer ett randvärdesproblem till. Finns ingen riktig genomgång i boken och svårt att googla fram förklaringar, så det uppkommer en del frågetecken. Så detta inlägget är egentligen en fråga om metoden som jag höftade fram är korrekt.
Uppgiften:

Bestäm alla reella tal $\lambda$för vilka randvärdesproblemet

$y\text{'}\text{'}+\lambda y= 0, y\text{'}\left(0\right)=y\text{'}\left(\iota \right)=0 \iota >0$

har en icke-trivial lösning y=y(x) (d.v.s. en lösning som inte är identiskt med lika med noll). Ange motsvarande lösningar.

Jag tolkade "inte är identiskt lika med noll" som att lösningen kan bli noll men inte alltid.
Sen räknade jag på lite.

$$\begin{gathered} y\text{'}\text{'}+\lambda y=0 \\ p\left(r\right)=r^2+\lambda r=0 \\ r=\pm \sqrt{\lambda }i \\ y=A Cos\sqrt{\lambda }x+B Sin\sqrt{\lambda }x \\ y\text{'}=-A\sqrt{\lambda }xS\mathrm{in}\sqrt{\lambda }x+ B\sqrt{\lambda }Cos\sqrt{\lambda }x \\ y\text{'}\left(0\right)=0 \\ 0=-A\sqrt{\lambda }S\mathrm{in}0+ B\sqrt{\lambda }Cos0 \\ B=0 \\ y\text{'}\left(\iota \right)=0 \\ Jag bortser här från B-termen då denna alltid blir noll \\ 0=-A\sqrt{\lambda }S\mathrm{in}\sqrt{\lambda }\iota \\ Här fick jag göra lite förutsättningar, \\ om lösningen inte alltid ska bli noll förutsätter det att: \\ A\ne 0 och \lambda \ne 0. \\ För att uttrycket då ska bli noll så måste: \\ S\mathrm{in}\sqrt{\lambda }\iota =0 \\ \sqrt{\lambda }\iota =0+\mathrm{\pi }·\mathrm{n} \mathrm{n}\in \mathrm{positiva} \mathrm{heltal} \mathrm{och} \mathrm{noll} \\ \mathrm{\lambda }=\frac{{\mathrm{\pi }}^2+{\mathrm{n}}^2}{{\mathrm{\iota }}^2} \\ \mathrm{y}=\mathrm{A} \mathrm{Cos}\frac{\mathrm{\pi }·\mathrm{n}}{\mathrm{\iota }} \end{gathered}$$

Detta var också svaret som facit visade. Jag har gjort en del antaganden i lösningen får man göra så?

Känner mig lite osäker när jag inte sett något exempel.