mer derivata

Inte (9,8) va?

Om du vill approximera t.ex. $\sqrt{10}$

Du vet att $\sqrt{9}=3$

Derivatan är $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Detta kallas för linjär approximation.

$L\left(x\right) =\hspace{0.17em}f\left(a\right)\hspace{0.17em}+ f\text{'}\left(a\right)(x-a)$

$$\begin{gathered} L\left(10\right)=f\left(9\right)+f\text{'}\left(9\right)(10-9)=\sqrt{9}+\frac{1}{2\sqrt{9}}·1=\sqrt{9}+\frac{1}{2\sqrt{9}}·1=\frac{19}{6}\approx 3,166667 \\ \sqrt{10}\approx 3,16228 \end{gathered}$$

Idén med linjär approximation är att $f\left(x\right)\approx L\left(x\right)$ för x nära a. 

Men som sagt stämmer inte (9,8)

Vad är det du vill ha hjälp med?

1. Att förstå lösningen i boken? Visa då med en bild hur den ser ut så kan vi förklara.
2. Hur du ska använda formeln du visade?

Har ingen ide vad som händer. Hur vet ni tex att derivatan är 1/2√x (har glömt bort en del från gymnasiet). 

Förstår lite om det beerger skrev om linjär approximation men när jag kollar på lösningförslaget i boken ser jag inte vad som pågår.

Vi börjar med derivatan av $y=\sqrt{x}$.

Vi börjar då med att skriva om uttrycket som $y=x^{\frac{1}{2}}$

Eftersom derivstan av $x^m$ är lika med $m\cdot x^{m-1}$ så får vi att derivatan av $x^{\frac{1}{2}}$ är lika med $\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Vi har alltså att $y'(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}$

Detta värde är lika med lutningen på den tangent som tangerar den givna kurvan vid $x=9$  dvs "k-värdet" på den räta linje som tangenten utgör.

Den räta linjens ekvation på enpunktsform är $y-y_0=k(x-x_0)$, där $(x_0,y_0)$ är en känd punkt på linjen.

Vi vet att tangeringspunkten $(9,3)$ ligger på linjen, vilket ger oss $y-3=\frac{1}{6}(x-9)$ som den räta linjens ekvation.

Eftersom räta linjens

========

Nästa steg handlar om ekvationen för tangn

Enten

Tack, precis det jag behövde!!