Mellanliggande värden
Jag gissar på att det är Bolzanos sats man ska använda. Förutsättningarna för att använda den uppfylls. Och eftersom f(x) är kontinuerlig vet vi att f(0) = 0 och f(1) = 1 för funktionsvärdet ska vara lika med gränsvärdet i de punkterna.
Jag tänkte tillämpa motsägelsebevis om det inte finns minst en punkt p i intervallet så att f(p) = p då innebär det att gränsvärdet inte existerar och då måste p ligga utanför .
Vi har redan f(0) = 0 och f(1) = 1 som uppfyller f(p) = p men hur bevisar man det att på grund av kontinuitet har vi dessa två punkter?
Men funktionen skulle väl kunna vara t.ex.
f(x) = 0.42
eller hur?
Bubo skrev:Men funktionen skulle väl kunna vara t.ex.
f(x) = 0.42
eller hur?
Nu hänger jag inte riktigt med menar du att f(x) är en konstant funktion? För då gäller olikheten för oändligt många p men det är väl ett specialfall?
Nichrome skrev:Bubo skrev:Men funktionen skulle väl kunna vara t.ex.
f(x) = 0.42
eller hur?
Nu hänger jag inte riktigt med menar du att f(x) är en konstant funktion?
Ja, så skulle det kunna vara. Lägg märke till att om vi hittar en funktion g(x) som duger, så är även (1-g(x)) en funktion som duger.
För då gäller olikheten för oändligt många p men det är väl ett specialfall?
Nej, i mitt exempel gäller olikheten för EN punkt: f(0.42) = 0.42
Bubo skrev:Nichrome skrev:Bubo skrev:Men funktionen skulle väl kunna vara t.ex.
f(x) = 0.42
eller hur?
Nu hänger jag inte riktigt med menar du att f(x) är en konstant funktion?
Ja, så skulle det kunna vara. Lägg märke till att om vi hittar en funktion g(x) som duger, så är även (1-g(x)) en funktion som duger.
För då gäller olikheten för oändligt många p men det är väl ett specialfall?
Nej, i mitt exempel gäller olikheten för EN punkt: f(0.42) = 0.42
Varför funkar (1-g(x))?
hur kan man bevisa dock att det finns en sådan punkt som f(0.42) = 0.42 etc?
Man skulle kunna börja som så att man ritar ett koordinatsystem och markerar
- det område som punkterna (x, f(x)) kan vara i, enligt uppgiften
- alla punkter i det området som uppfyller f(p) = p
- alla tillåtna punkter ( 0, f(0) ) enligt uppgiften
- alla tillåtna punkter ( 1, f(1) ) enligt uppgiften
