Mellanliggande värden

Hej. Jag undrar om jag tänkt rätt i följande bevis. Tacksam för hjälp.

Låt f vara en kontinuerlig funktion definierad i det slutna intervallet $[a, b]$ . Bevisa att för varje $c_{i} \in [a, b], i = 1, 2 . . ., n$

$\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) = f (ξ)$

för något $ξ \in [a, b]$ .

Jag använde mig av satsen för mellanliggande värden för att bevisa detta. Jag definierade

$[a, b] = [c_{1}, c_{n}], n \in ℕ$

Enligt satsen för m.v. gäller (vi vet att funktionen är kontinuerlig i det givna intervallet)

$f (c_{1}) < f (c_{i}) < f (c_{n})$

I det här fallet har jag antagit att $f (c_{n}) > f (c_{1})$ . Det finns ju n stycken $f (c_{i})$ , så om vi summerar ihop olikheterna fås

$n f (c_{1}) < \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) < n f (c_{n}) \Leftrightarrow f (c_{1}) < \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) < f (c_{n})$

Enligt satsen för m.v. finns nu något

$f (ξ) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}), d ä r ξ \in [c_{1}, c_{n}]$

Och då har vi bevisat påståendet. Har jag gjort något fel här?

Kanske inte direkt ett fel men du har inte riktigt berättat du har valt $c_i$ . Alltså hur ligger dessa relativt varandra? För du säger att $f(c_1) < f(c_i) < f(c_n)$ , men hur vet du det?

(Notera alltså att detta inte är något allvarligt fel, det går att förklara bara du säger hur $c_i$ ligger relativt varandra).

Okej. Jag har alltså valt c så att $c_{1} < c_{i} < c_{n}$ . Ser det annars korrekt ut?

Då är det felaktigt. Säg att vi har att $f(x) = sin(x)$ nu låter vi $c_1 = 0$ och $c_n = \pi$ sedan är $c_i$ lite värden däremellan. Ser du att det blir något fel i ditt resonemang då?

Jag antog att funktionen är strängt växande/avtagande, vilket inte ges i uppgiften... Kan man i så fall välja c så att intervallet alltid ligger i ett strängt växande/avtagande intervall? Eller hur skall man göra?

Nyckeln till att inse hur du ska fixa till det är att du bara behöver notera att enda rollen $c_1$ spelar i ditt bevis är att vara det värde så att $f(c_1)$ är minst. Samma för $c_n$ , det är värdet så att $f(c_n)$ är störst.

Om du istället säger att $c_k$ är det värdet så att $f(c_k)$ blir minst och $c_j$ är värdet så att $f(c_j)$ blir störst, kan du då reparera argumentet?

Naturligtvis. Jag tror att jag har missförstått satsen. Funktionen kan väl vara hur slingrig som helst mellan ändpunkterna a och b? Jag antog att ändpunkterna måste vara extrempunkter, men det behöver de ju inte alls vara....

Tack igen! Du är grymt aktiv, intelligent och hjälpsam på detta forum. Uppskattas!

Ännu en fråga. Alltså jag borde dela in beviset i tre olika delar. Då

$f (a) < f (b) f (a) > f (b) f (a) = f (b)$

Nej det behöver du inte göra. Utan du har att

$f (c_{j}) \leq \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) \leq f (c_{k})$

Så då vet du att det finns något värde $\xi$ mellan $c_j$ och $c_k$ (notera att jag bara säger mellan, för vi vet inte vilken av $c_j$ och $c_k$ är största/minst), som det gäller att

$f (ξ) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i})$

Svara

Visa senaste svar