mellan liggande värdesatsen användning

Frågan:

Lösningen ser ut så här: 

Mitt svar var pga f(x) är kont och sluten mellan 0 och 1 så pga mellanliggande värde satsen finns det minst ett p där f(p)=p

Vad är anledningen till att de använder detta sätt? och är mitt svar rätt?