Mekanik - Partikeldynamik, beskriva tangentiell banrörelse

Hej!

Har suttit och klurat på detta problem ett tag och lyckats få ut rätt svar, men förstår inte fullt ut vad jag gör. Kan någon förklara ingående så jag fattar vad jag egentligen håller på med.

Problemet:

Min lösning:

Vi vet att accelerationen i x-led = 0 och y-led = -g.

$\overset{⇀}{a} = (0) e_{x} - (g) e_{y}$

integrerar fram hastigheten och vi vet att hastigheten i x-led är v0

$\overset{⇀}{v} = (v_{0}) e_{x} - (g t) e_{y}$

Hittills är jag med på vad som händer. Men det är här jag börjar bli osäker på vad jag gör.

Det jag gjorde sedan var att ta ut magnituden för hastigheten |V|

$|\overset{⇀}{v}| = \sqrt{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}}$

och kallar farten för

$\overset{°}{S} = |\overset{⇀}{v}| = \sqrt{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}}$

Som jag sedan tidsderiverar och får

$\overset{° °}{S} = \frac{g^{2} t}{\sqrt{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}}}$

Detta är då korrekt svar enligt facit, men jag förstår inte varför jag ska ta ut magnituden för hastigheten och sedan derivera fram accelerationen. Vad har jag missat?

Banriktningen ges av hastigheten.

En enhetsvektor i banriktningen är alltså

$\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Om du skalärmultiplicerar accelerationsvektorn $\vec{a}=-g\mathbf{e}_y$ med en enhetsvektor i bankriktningen får du accelerationen i banriktningen. Är du med?

Ett annat sätt att förstå det här är att använda naturliga koordinater, har ni gått igenom det?

Så klart!!! Hastigheten går ju i banans riktning och då kan man ju ta ut en enhetsvektor från det som man skalärmultiplicerar med accelerationen för att få ut accelerationen i banans riktning.

$\overset{⇀}{a} = (0) e_{x} - (g) e_{y}$

$\frac{\overset{⇀}{v}}{|v|} = \frac{(v_{0}) e_{x} - (g t) e_{y}}{\sqrt{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}}}$

$\overset{⇀}{a \cdot} \frac{\overset{⇀}{v}}{|v|} = \frac{(0) e_{x} + (g^{2} t) e_{y}}{\sqrt{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}}}$

Tror dock att boken vill att man ska lösa det genom naturliga koordinater. Jag har dock bara hunnit skumma igenom det i boken och inte riktigt fått grepp om det ännu.

Ja, fast tänk på att skalärprodukten bara är ett tal, till exempel är $\mathbf{e}_y\cdot \mathbf{e}_y=1$ så det bli ju inget $\mathbf{e}_y$ kvar i resultatet.

I fallet med naturliga koordinater kan man använda sina formler rakt av från formelsamlingen. Men, vi kan också utnyttja det du precis visade. Notera att absolutbeloppet av hastigheten kan skrivas som

$v=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}$

Deriverar vi det uttrycket med avseende på tid får vi:

$\frac{d v}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}}(\dot{\vec{v}}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \dot{\vec{v}})=\dot{\vec{v}}\cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Vilket vi redan konstaterat är accelerationen i banans riktning (det är samma uttryck du fick ovan)

Detta är också uttrycket för accelerationen i banans riktning i naturliga koordinater

$a_t=\frac{d v}{dt}$

D4NIEL skrev:
Ja, fast tänk på att skalärprodukten bara är ett tal, till exempel är $\mathbf{e}_y\cdot \mathbf{e}_y=1$ så det bli ju inget $\mathbf{e}_y$ kvar i resultatet.

I fallet med naturliga koordinater kan man använda sina formler rakt av från formelsamlingen. Men, vi kan också utnyttja det du precis visade. Notera att absolutbeloppet av hastigheten kan skrivas som

$v=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}$

Deriverar vi det uttrycket med avseende på tid får vi:

$\frac{d v}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}}(\dot{\vec{v}}\cdot \vec{v}+\vec{v}\cdot \dot{\vec{v}})=\dot{\vec{v}}\cdot \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Vilket vi redan konstaterat är accelerationen i banans riktning (det är samma uttryck du fick ovan)

Detta är också uttrycket för accelerationen i banans riktning i naturliga koordinater

$a_t=\frac{d v}{dt}$

Tack så mycket för hjälpen! Hade inte tänkt på att man kunde skriva absolut beloppet på det sättet :)

Svara

Visa senaste svar