Mekanik - partikel i spiralrörelse

Börja med beta. Om tangens för beta är -dr/dz, kanske du hittar beta?

Derivatan dr/dz är ju svaret på "hur mycket ökar r, i förhållande till z?"

Gamma skall vara det man brukar kalla stigningsvinkeln på en gängad skruv.

Jag har svårt att förstå cos(beta)-faktorn. Den behöver jag fundera mer på.

Konstigheter i denna fråga.

Hur kan $\theta$ vara konstant och partikeln röra sig i en spiral på det sätt som visas i figuren? Menar man kanske att $\dot{\theta }$ skall vara konstant?

Hur kan kan man ha sambandet $\frac{dr}{dz}=-\tan \beta$? Om z ökar så skall väl r öka, om det är som i figuren?

Vore det inte naturligare med sambandet r/z = b/h = $\tan \beta$?

Om vi inför cylinderkoordinater så kan vi skriva

$\overrightarrow{r}=z{\overrightarrow{e}}_z+r{\overrightarrow{e}}_r$

$\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{z}{\overrightarrow{e}}_z+\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$.

Sedan har vi från definitionen av skalärprodukt att

$\cos \gamma$=$\frac{{\overrightarrow{e}}_{\theta }\bullet \dot{\overrightarrow{r}}}{\left|\dot{\overrightarrow{r}}\right|}$.

Om man utgår från ekvationen ovan och utnyttjar r = $z\tan \beta$ så får man efter en del räkningar att

$\tan \gamma =\pm \frac{\dot{z}}{r\dot{\theta }\cos \beta }$, vilket verkar motsvara det första tipset i frågan.

Vem gav dig dessa tips?

Du har att $r/z = \tan(\beta)$ fås fram enligt nedan:

Här har du alltså att $\alpha$ ovan är $\beta$ i din bild.

Den andra relationen

$\tan\left(\gamma\right)= \dfrac{(dz/dt)}{r(d\theta/dt)\cos(\beta)}$

beskriver ett förhållande mellan den vertikala hastigheten $dz/dt$ och den tangentiella $rd\theta/dt$. Vi förstår intuitivt att "stigningsvinkeln" $\gamma$ blir större om vertikala hastigheten är stor men tangentiell är liten. Du kan också fundera på vad som händer när $\beta \rightarrow \pi/2$.

Jag kan visa hur man kommer fram till relationen geometriskt, om du vill? PM visade kort ovan med vektoralgebra.

Tillägg: 14 feb 2022 12:12

PATENTERAMERA skrev:

Konstigheter i denna fråga.

Hur kan $\theta$ vara konstant och partikeln röra sig i en spiral på det sätt som visas i figuren? Menar man kanske att $\dot{\theta}$ skall vara konstant?

Ja. Bilden är från Engineering mechanics: Dynamics av Meriam & Kraige se bild nedan:

Jag håller med om att "ledningarna" har underliga teckenval, i mitt tycke var det enklare att lösa uppgiften genom teckenvalen

$\tan(\beta)=\frac{r}{z}=\frac{b}{h}$

$\tan(\gamma)=-\frac{dr}{d\theta}\frac{1}{ r\sin(\beta)}$

På det sättet kan vi låta $\gamma$ vara en positiv vinkel trots att $r$ minskar med ökande $\theta$.

Nu är det relativt enkelt att lösa ut $r(\theta)$

PATENTERAMERA skrev:

Konstigheter i denna fråga.

Hur kan $\theta$ vara konstant och partikeln röra sig i en spiral på det sätt som visas i figuren? Menar man kanske att $\dot{\theta }$ skall vara konstant?

Hur kan kan man ha sambandet $\frac{dr}{dz}=-\tan \beta$? Om z ökar så skall väl r öka, om det är som i figuren?

Vore det inte naturligare med sambandet r/z = b/h = $\tan \beta$?

Om vi inför cylinderkoordinater så kan vi skriva

$\overrightarrow{r}=z{\overrightarrow{e}}_z+r{\overrightarrow{e}}_r$

$\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{z}{\overrightarrow{e}}_z+\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$.

Sedan har vi från definitionen av skalärprodukt att

$\cos \gamma$=$\frac{{\overrightarrow{e}}_{\theta }\bullet \dot{\overrightarrow{r}}}{\left|\dot{\overrightarrow{r}}\right|}$.

Om man utgår från ekvationen ovan och utnyttjar r = $z\tan \beta$ så får man efter en del räkningar att

$\tan \gamma =\pm \frac{\dot{z}}{r\dot{\theta }\cos \beta }$, vilket verkar motsvara det första tipset i frågan.

Hej, det verkar vara ett tryckfel. Det är såklart theta prick som är konstant.

PATENTERAMERA skrev:

Konstigheter i denna fråga.

Hur kan $\theta$ vara konstant och partikeln röra sig i en spiral på det sätt som visas i figuren? Menar man kanske att $\dot{\theta }$ skall vara konstant?

Hur kan kan man ha sambandet $\frac{dr}{dz}=-\tan \beta$? Om z ökar så skall väl r öka, om det är som i figuren?

Vore det inte naturligare med sambandet r/z = b/h = $\tan \beta$?

Om vi inför cylinderkoordinater så kan vi skriva

$\overrightarrow{r}=z{\overrightarrow{e}}_z+r{\overrightarrow{e}}_r$

$\dot{\overrightarrow{r}}=\dot{z}{\overrightarrow{e}}_z+\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+r\dot{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$.

Sedan har vi från definitionen av skalärprodukt att

$\cos \gamma$=$\frac{{\overrightarrow{e}}_{\theta }\bullet \dot{\overrightarrow{r}}}{\left|\dot{\overrightarrow{r}}\right|}$.

Om man utgår från ekvationen ovan och utnyttjar r = $z\tan \beta$ så får man efter en del räkningar att

$\tan \gamma =\pm \frac{\dot{z}}{r\dot{\theta }\cos \beta }$, vilket verkar motsvara det första tipset i frågan.

Tack, ska ta mig en titt på detta senare idag och återkommer om jag har några fler frågor. 

Jag förstår PATENTERMERAs argument, och jag ska försöka sammanfatta mina tankar så jag ser att jag har tänkt rätt.

Vi får ut vinkeln genom att ta skalärprodukten mellan hastighetsvektorn som är tangent till rörelseriktningen och med basvektorn som pekar i positiv "vridningsriktning" vilken då alltid är horisontell. Vi löser sedan ut cos av vinkeln enligt definitionen för skalärprodukt. 

Vi har alltså att $\cos \left(\gamma \right)=\frac{r\dot{\theta }}{\sqrt{{\dot{z}}^2+{\dot{r}}^2+{\left(r\dot{\theta }\right)}^2}}$

Men då $r = z\tan \left(\beta \right) \Rightarrow \dot{r}=\dot{z}\tan \left(\beta \right)$

Vilket ger oss:

$\cos \left(\gamma \right)=\frac{r\dot{\theta }}{\sqrt{{\dot{z}}^2(1+{\tan }^2(\beta \left)\right)+{\left(r\dot{\theta }\right)}^2}}$

Och med $\tan \gamma =\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^2\left(\gamma \right)}}{\cos \left(\gamma \right)}=\pm \frac{\sqrt{1-\frac{{\left(r\dot{\theta }\right)}^2}{{\dot{z}}^2(1+{\tan }^2(\beta \left)\right)+{\left(r\dot{\theta }\right)}^2}}}{\frac{r\dot{\theta }}{\sqrt{{\dot{z}}^2(1+{\tan }^2(\beta \left)\right)+{\left(r\dot{\theta }\right)}^2}}}=\pm \frac{{\displaystyle \frac{\dot{z}\sqrt{(1+{\tan }^2(\beta \left)\right)}}{\sqrt{{\dot{z}}^2(1+{\tan }^2(\beta \left)\right)+{\left(r\dot{\theta }\right)}^2}}}}{\frac{r\dot{\theta }}{\sqrt{{\dot{z}}^2(1+{\tan }^2(\beta \left)\right)+{\left(r\dot{\theta }\right)}^2}}}$

$=\pm \frac{{\displaystyle \dot{z}}}{r\dot{\theta }\cos \left(\beta \right)} = \pm \frac{{\displaystyle dz}}{r\cos \left(\beta \right)d\theta }$

vilket vi, efter att vi "dividerat" bort våra dt, kan se som det första tipset (inte jätterigoröst). Utnyttjar vi detta, och tar den positiva roten från ovan, och sätter in i $\tan \beta = \frac{dr}{dz}=\frac{dr}{r\tan \gamma \cos \beta d\theta }\Rightarrow \tan \gamma d\theta = \frac{dr}{r\sin \beta }$.  Vilket sedan kan lösas genom en separabel ODE. 

Jag tror att det måste blivit fel i tecknet på det första tipset, för om man antar att det är positivt blir det rätt. Om man såklart inte tar den negativa roten från tangens av gamma, för då tar teckena ut varandra.

Tack för all hjälp allihopa!