Mekanik - Kvoterna W och Z vid genomplasticering

Hej jag har i en uppgift att berökna ƞ=Z/W för en T-balk, mitt problem är att jag inte vet hur jag får ut Z eller W för en T balk och internet har hittills inte varit till stor hjälp.

Vet att för rektangel/fyrkant gäller:

Z=(bh^2)/4

W=(bh^2)/6

Men vad är det för en T-balk?

Enklast blir om du får namn på dina respektive storheter när du ska söka. W är elastiskt böjmotstånd och Z är plastiskt böjmotstånd. Du kan läsa mer om hur man beräknar dem från följande föreläsning vid Lunds Universitet på sidan 8: länk

Anledningen att det är svårt att hitta några direkta svar när du googlar är att det för en T-balk snabbt blir väldigt grötigt om man ska beskriva dessa storheter för ett allmänt fall. Använd istället en T-balk med några dimensioner du själv hittar på så kan vi räkna utifrån dessa. I spoiler nedan ser du resultatet för ett allmänt fall.

Allmänt fall

Vi har följande T-balk:

Vi kan bestämma neutrallagret genom att designera okända avstånd och räkna utifrån dem som föreläsningen ger ledning till.

Totala arean är:

$A = b t_{F} + h t_{L}$

Detta betyder att avståndet från nederkanten till neutrallagret är:

$y_{N} = \frac{b t_{F} + h t_{L}}{2 t_{L}}$

Vi ser att

$y_{t} = y_{N} / 2$

$y_{c} = \frac{(t_{F} / 2 + h - y_{N}) b t_{F} + {(h - y_{N})}^{2} t_{L} / 2}{b t_{F} + t_{L} (h - y_{N})}$

Vi har delareorna som:

$A_{c} = b t_{F} + t_{L} (h - y_{N}) A_{t} = y_{N} t_{L}$

Detta ger till slut vårt plastiska böjmotstånd som:

$Z = A_{c} y_{c} + A_{t} y_{t} Z = (t_{F} / 2 + h - \frac{b t_{F} + h t_{L}}{2 t_{L}}) b t_{F} + {(h - \frac{b t_{F} + h t_{L}}{2 t_{L}})}^{2} t_{L} / 2 + {(\frac{b t_{F} + h t_{L}}{2 t_{L}})}^{2} t_{L} / 2$

Det elastiska böjmotståndet beräknas antingen genom en integral eller en summering över bidrag till yttröghetsmoment från de olika sektionerna med Steiner's sats. Vi väljer det senare och börjar med att beräkna centroiden för vår T-balk relativt nederkanten:

$y_{c e n t r o i d} = \frac{b t_{F} (t_{F} / 2 + h) + h^{2} t_{L} / 2}{b t_{F} + h t_{L}}$

Yttröghetsmomentet hos fläns och liv är:

$I_{f l ä n s} = \frac{b {(t_{F})}^{3}}{12} I_{l i v} = \frac{h^{3} t_{L}}{12}$

Detta ger det sammansatta yttröghetsmomentet som:

$I_{y} = I_{f l ä n s} + b t_{F} {(t_{F} / 2 + h - y_{c e n t r o i d})}^{2} + I_{l i v} + h t_{L} {(y_{c e n t r o i d} - h / 2)}^{2}$

Vi får då det elastiska böjmotståndet som (antag att $2 y_{c e n t r o i d} > t_{F} + h$ ):

$W = \frac{I_{y}}{y_{c e n t r o i d}} = \frac{\frac{b {(t_{F})}^{3}}{12} + b t_{F} {(t_{F} / 2 + h - \frac{b t_{F} (t_{F} / 2 + h) + h^{2} t_{L} / 2}{b t_{F} + h t_{L}})}^{2} + \frac{h^{3} t_{L}}{12} + h t_{L} {(\frac{b t_{F} (t_{F} / 2 + h) + h^{2} t_{L} / 2}{b t_{F} + h t_{L}} - h / 2)}^{2}}{\frac{b t_{F} (t_{F} / 2 + h) + h^{2} t_{L} / 2}{b t_{F} + h t_{L}}}$

Plasticeringskvoten fås då som:

$η = \frac{Z}{W}$

Svara