Mekanik - kvoten m/M för att hoopen inte ska lyfta från hålet

Hej,

Håller på med uppgiften nedan:

För att lösa problemet tänker jag såhär:

När den lilla massan m, når punkten P, vilket vi kan kalla den högra kontaktytan mellan hoopen och väggen, så kommer vi få ren rotation av M kring punkten P. För att hoopen sedan ska lyfta från marken, så krävs det att normalkraften från golvet är större än 0. Vi kan därför studera gränsfallet då vi har precis att normalkraften är 0 från golvet.

Då gäller det att vi kan skriva upp momentekvationen kring punkten P som följer:

$M_{p} = M g R = I_{p} α = (M R^{2} + m R^{2} + M R^{2}) α = (2 M R^{2} + m R^{2}) α$

Där tröghetsmomentet kring punkten P fås ur Steiners sats genom att först beräkna tröghetsmomentet kring masscentrum M, vilket ger de två första termerna, den sista uppkommer sedan ur Steiners. Jag hoppas detta steg är korrekt, då jag är lite osäker på om jag ska ha (M+m) eller M i sista termen.

Sedan undrar jag hur jag ska ta fram vinkelaccelerationen precis då massan m når punkten P. Jag funderade över att tillämpa energiprincipen, men det verkade inte ta mig någonstans direkt. Någon som har några tips som kan föra mig framåt i problemet?

Tack.

Sätt upp rörelseekvationerna för pärlan.

Mot centrum: n + mgcos $θ$ = ma_c = m $v^{2}$ /R. n är normalkraften från ringen på pärlan.

Tangentiellt: mgsin $θ$ = m $\frac{d v}{d t}$ .

Kinematik: $v = R \frac{d θ}{d t}$ .

Sedan vill vi att ringen skall var i momentjämvikt. Momentet på ringen kring P skall vara noll. Vilka krafter bidrar till momentet? Vilka möjlighetsvillkor måste uppfyllas? Du hade vissa ideer här.

Energin är bevarad vilket ger dig hastigheten $v$ för ett givet $\theta$

PATENTERAMERA skrev:
Sätt upp rörelseekvationerna för pärlan.

Mot centrum: n + mgcos $θ$ = ma_c = m $v^{2}$ /R. n är normalkraften från ringen på pärlan.

Tangentiellt: mgsin $θ$ = m $\frac{d v}{d t}$ .

Kinematik: $v = R \frac{d θ}{d t}$ .

Sedan vill vi att ringen skall var i momentjämvikt. Momentet på ringen kring P skall vara noll. Vilka krafter bidrar till momentet? Vilka möjlighetsvillkor måste uppfyllas? Du hade vissa ideer här.

Har lyckats hitta n (normalkraften) till att vara precis $n = m g (2 - 3 \cos (θ))$

Nu vill vi ju att kulan inte ska lyftas från marken, så vi kan direkt sätta N_golv = 0 och sedan titta på momentjämvikt kring P under hela rörelsen.

Momentjämvikt kring P: $- n \cos (θ) R + M g R = 0$

Det räcker med att hitta det värde då n cos(theta) är störst, ty det då är momentjämvikt under resten av rörelsen också.

Det visar sig efter derivering av ncos(theta) och likställ med 0 att detta blir precis cos(theta) = 1/3, vilket ger ( efter division med R):

$m g / 3 - M g = 0$

Varav det sedan ges av m/M < 3.

Ser detta ok ut?

Ja det ser OK ut. Säger facit något annat?

Den där boken av David Morin har inget facit för ca 30 % av sina problem (denna inkluderad) men en Solution manual.

Vi får $m/M \leq 3$ så svaret är $m/M =3$ .

PATENTERAMERA skrev:
Ja det ser OK ut. Säger facit något annat?

Hade inget facit tyvärr. Men Ebola verkade ha koll! Tack för hjälpen allihopa.

Ebola skrev:
Den där boken av David Morin har inget facit för ca 30 % av sina problem (denna inkluderad) men en Solution manual.

Vi får $m/M \leq 3$ så svaret är $m/M =3$ .

Behöver man betala extra för sin Solution Manual?

Smaragdalena skrev:
Behöver man betala extra för sin Solution Manual?

Det är en så kallad Instructor's solution manual och den är därmed egentligen bara tillgänglig att köpa om du är en bekräftad föreläsare (ibland få gratis beroende på överenskommelser mellan universitetet och Cambridge Press). Meningen är att använda lösningarna som stöd i undervisningen så att studenterna kan guidas på bästa möjliga sätt.

Liksom många andra professorer inom fysik anser Morin att när facit saknas lär man sig motivera sitt svar mycket likt vad verkligheten kan kräva. Sedan finns det gott om problem med lösningar i boken så att ca en tredjedel saknar facit gör inte boken sämre, tycker jag.

Ebola skrev:
Smaragdalena skrev:
Behöver man betala extra för sin Solution Manual?

Det är en så kallad Instructor's solution manual och den är därmed egentligen bara tillgänglig att köpa om du är en bekräftad föreläsare (ibland få gratis beroende på överenskommelser mellan universitetet och Cambridge Press). Meningen är att använda lösningarna som stöd i undervisningen så att studenterna kan guidas på bästa möjliga sätt.

Liksom många andra professorer inom fysik anser Morin att när facit saknas lär man sig motivera sitt svar mycket likt vad verkligheten kan kräva. Sedan finns det gott om problem med lösningar i boken så att ca en tredjedel saknar facit gör inte boken sämre, tycker jag.

Aha - intressant! Lite mer sympatiskt än det jag hade föreställt mig...

Svara

Visa senaste svar