Mekanik - Kraftmoment (Stel kropp vridbar kring fix axel)

Hej igen,

Har en uppgift här som jag kört fast med. Problemet ligger i att jag ej hittar vilken formel jag ska tillämpa för att kunna beräkna momentet med avseende på en godtycklig punkt på axeln (Mp). Vidare vet jag ej om jag kan välja en valfri kraft F av de fyra som finns tillgängliga, eller om jag måste kombinera detta på något vis. Tänkte först sätta P (dvs den godtyckliga punkten) till (0,0,0), då det är lättast, men får ej ihop det. Lyckades iallafall få fram rätt e(lambda) .

Har löst uppgiften, vet dock ej hur man raderar tråden! Tack alla som kikade in =)

Äsch, uppgiften som såg så rolig ut, jag löser den iaf :)

För att förenkla lägger vi origo i A. Det innebär att angreppspunkterna translateras till $\overline{x_j}$ . Låt $e_{\lambda}$ vara en enhetsvektor som pekar från A till B. Låt $\overline{x_j}$ vara angreppspunkterna till krafterna $f_j$ . Det samlade momentet runt axeln AB ges då av

$\displaystyle M_{AB}=\sum_{j=1}^4 \mathbf{f}_j\cdot(\mathbf{e}_{\lambda}\times \overline{\mathbf{x}_j})$

Blev irriterad på trådskaparen som inte delade med sig av sin lösning för övriga som har svårt med uppgiften.

Vad vi vet från uppgiften

$P u n k t e r n a A = (1, 2, 3) * a B = (- 2, 4, 1) * a S e n k a l l a r j a g a n g r e p p s p u n k t e r n a f ö r d d_{1} = (0, 1, 3) * a d_{2} = (4, - 1, - 2) * a d_{3} = (- 1, 4, 0) * a d_{4} = (1, 2, 3) * a K r a f t e r n a F_{1} = (1, 3, 2) * P F_{2} = (3, 0, 4) * P F_{3} = (- 1, - 3, 4) * P F_{4} = (5, 1, 7) * P$

Vi vill beräkna momentet kring axeln AB, $M_{A B}$

Eftersom vi enbart fått angreppspunkter som verkar på en stel kropp måste vi börja med att beräkna avståndet från en punkt de verkar på. Jag väljer att utgå från punkten A (eftersom att då kommer en vektor bli 0 och beräkningen lättare). Formeln kan sammanfattas till:

$R_{A i} = d_{i} - A$

Tillämpar detta på alla angreppspunkter:

$R_{A 1} = ((0 - 1), (1 - 2), (3 - 3)) * a = (- 1, - 1, 0) * a R_{A 2} = ((4 - 1), (- 1 - 2), (- 2 - 3)) * a = (3, - 3, - 5) * a R_{A 3} = ((- 1 - 1), (4 - 2), (0 - 3)) * a = (- 2, 2, - 3) * a R_{A 4} = 0$

Då har vi precis beräknat momentarmarna för alla krafter som verkar i respektive punkt.

Näst vill vi beräkna det totala momentet i systemet i punkten A, vilket vi gör med kryssprodukt mellan kraft och hävarm och sedan summerar ihop allt likt formeln nedan (Notera att ena termen är noll eftersom att $R_{A 4} = 0$ ).

$M_{A} = {\sum F_{i} x R_{A i}}_{i = 1}^{4}$

$M_{A} = |\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 1 & 0 \end{matrix}| * a P + |\begin{matrix} 3 & 0 & 4 \\ 3 & - 3 & - 5 \end{matrix}| * a P + |\begin{matrix} - 1 & - 3 & 4 \\ - 2 & 2 & - 3 \end{matrix}| * a P + 0$

Hoppar över denna beräkning då det skulle bli för långt inlägg (vilket det redan är).

$M_{A} = (2, - 2, 2) * a P + (12, 27, - 9) * a P + (1, - 11, - 8) * a P + 0$

Som vi sedan summerar ihop till:

$M_{A} = (15, 14, - 15) * a P$

Då har vi räknat ut momentet för punkten A. Men frågan vill veta momentet över axeln AB därför måste vi ta ut enhetsvektorn $e_{A B}$ för att kunna få fram momentet på axlen (notera att jag får andra tecken på enhetsvektorn än trådskaparen för att jag "går från andra hållet").

$e_{A B} = \frac{R_{A B}}{|R_{A B}|} = \frac{(3, - 2, 2)}{\sqrt{17}}$

Skalärmultiplicera enhetsvektorn mot momentet i A för att få fram rätt moment på axeln
$M_{A B} = M_{A} * e_{A B} = (15 * 3 + 14 * (- 2) + (- 15) * 2) * a \frac{P}{\sqrt{17}} M_{A B} = \frac{- 13 a P}{\sqrt{17}}$

Hoppas detta hjälper.

Svara

Visa senaste svar