Mekanik - Jämviktsekvationer

Hur lyder uppgiften? Skriv av den ord för ord eller lägg in en bild. Vi som svarar här är bra på matte och fysik men usla på tankeläsning.

För en fritt rörlig kropp finns det tre translationsfrihetsgrader samt tre rotationsfrihetsgrader för de generella koordinaterna. 

I tvådimensionell analys behöver man tre stycken jämvikts ekvationer (om inte det är ett parallellsystem) som är oberoende varandra för att kroppen skall befinna sig i jämvikt.

I min bok nämner dem att man kan ställa upp de tre jämvikt villkoren på olika sätt, Men att man ska vara noga med att OM man ska ställa upp enligt exemplen ovan så finns det Krav för att man inte ska få ett tredje villkor som blir beroende.

Jag förstår inte vad det är som gör att det inte går att ställa upp enligt exemplen ovan om punkterna är i en rät linje osv.

Jag vill tillägga att i praktiken så väljer man enbart en ny jämviktsekvation om det skulle visa sig att man hamnar i ett döläga som i exemplen ovan.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Åtmionstone så begriper inte jag vad det är du försöker fråga om utan en bild.

Det som gör att så är fallet, för båda dina fall, är ett geometriskt samband. Du kan testa dig fram med godtyckliga krafter och se att problematiken uppstår. Det är helt enkelt så att i de specifika situationerna som nämns är inte den uppsättningen ekvationer tillräckliga eftersom minst en av dem är linjärt beroende.

Exakt varför är en djupare fråga men jag kan klura på saken. Det kan enklast betraktas som att determinanten för vårt system av ekvationer är lika med noll. Med andra ord kan vi genom linjär algebra härleda varför.

Fall 1:

Vi betraktar följande relationer:

$\begin{array}{lc}\sum _{}^{}{\overrightarrow{M}}_A=0: \sum _{}^{}{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i=0 & \left(1\right)\\ \sum _{}^{}{\overrightarrow{M}}_B=0: \sum _{}^{}({\overrightarrow{r}}_i+{\overrightarrow{r}}_{AB})\times {\overrightarrow{F}}_i=0 & \left(2\right)\\ \sum _{}^{}{\overrightarrow{M}}_C=0: \sum _{}^{}({\overrightarrow{r}}_i+{\overrightarrow{r}}_{AB}+{\overrightarrow{r}}_{BC})\times {\overrightarrow{F}}_i=0 & \left(3\right)\end{array}$

Om (1) är uppfylld kan vi reducera (2) till:

$\sum _{}^{}{\overrightarrow{r}}_{AB}\times {\overrightarrow{F}}_i=0$

Vi kan orientera x-axeln så den ligger parallell med ${\overrightarrow{r}}_{AB}$ vilket ger oss:

$\sum _{}^{}{\overrightarrow{r}}_{AB}\times {\overrightarrow{F}}_i=\sum _{}^{}\left|{\overrightarrow{r}}_{AB}\right|\overrightarrow{e_x}\times {\overrightarrow{F}}_i=\left|{\overrightarrow{r}}_{AB}\right|\sum _{}^{}{F}_{i, y}{\overrightarrow{e}}_z=0$

Om vi nu vet att (2) är uppfylld vet vi att $\sum _{}^{}{F}_{i, y}=0$, summan av alla krafter i y-led är lika med noll för systemet.

Om vi nu betraktar (3) ser vi att den reduceras till:

$\sum _{}^{}{\overrightarrow{r}}_{BC}\times {\overrightarrow{F}}_i=0$

Eftersom vi orienterat x-axeln som tidigare är den även parallell med ${\overrightarrow{r}}_{BC}$ vilket ger oss:

$\sum _{}^{}{\overrightarrow{r}}_{BC}\times {\overrightarrow{F}}_i=\sum _{}^{}\left|{\overrightarrow{r}}_{BC}\right|\overrightarrow{e_x}\times {\overrightarrow{F}}_i=\left|{\overrightarrow{r}}_{BC}\right|\sum _{}^{}{F}_{i, y}{\overrightarrow{e}}_z=0$

Då vi vet att $\sum _{}^{}{F}_{i, y}=0$ blir alltså (3) uppfylld automatiskt. Fall 2 ger snarlikt resultat med liknande analys, du kan testa dig fram!