Mekanik II - fjäder fastspänd på roterande cylinderskiva

Hej, arbetar med uppgiften nedan, och skulle vilja ha en kontroll över min lösning:

Så, jag ställer upp momentekvationen:

$\sum_{}^{} τ = - k x r = I α [1]$

Men notera att $I = \frac{m r^{2}}{2}$ samt att för rotation utan glidning $α = \frac{a}{r}$

Detta ger att ekvation [1] kan omskrivas till:

$- k x = \frac{m}{2} a [2]$

Vi utnyttjar kedjeregeln för accelerationen

$a = \frac{d v}{d x} \frac{d x}{d t} = \frac{d v}{d x} v [A]$

Ekvation A substituerat i 2 ger:

$- k x = \frac{m}{2} \frac{d v}{d x} v$

Vi separerar variablerna och får:

$- \frac{2 k x}{m} d x = v d v [3]$

Vi integrerar med hänseende på respektive variabel i VL och HL och utnyttjar begynnelsevillkoret $v (x = 0) = v_{0}$ :

$\int_{x = 0}^{x} \frac{- 2 k x}{m} d x = \int_{v_{0}}^{v} v d v$

Vi löser för v och får:

$v^{2} = {v_{0}}^{2} - \frac{k}{m} x^{2}$

Vi tar den positiva roten ur båda sidor och erhåller det slutgiltiga och sökta uttrycket som:

$v = \sqrt{{v_{0}}^{2} - \frac{k}{m} x^{2}} [S]$

Då v = 0 gäller att $x = v_{0} \sqrt{\frac{m}{k}} [B]$ , vi testar om det går att bekräfta uttrycket ovan någorlunda med hjälp av energiprincipen. Till en början har vi kinetisk energi, och då hjulet slutar roterar, överförs all energi till fjädern.

$\frac{1}{2} m v_{0} 2 = \frac{1}{2} k x^{2} [4]$

Genom att lösa för x i ekvation [4] fås, precis som tidigare, ekvation [B], vilket stärker giltigheten hos sambandet [S].

Så, hur ser lösningen ut, verkar det stämma eller ser ni några problem i lösningen jag behöver fixa till?

Tack!

$\int_{v_{0}}^{v} v d v = \frac{v^{2}}{2} - \frac{{v_{0}}^{2}}{2}$

henrikus skrev:
$\int_{v_{0}}^{v} v d v = \frac{v^{2}}{2} - \frac{{v_{0}}^{2}}{2}$

Där ser man. Tack! Jag får då det slutgiltiga uttrycket till:

$v = \sqrt{{v_{0}}^{2} - \frac{2 k}{m} x^{2}}$

Men då stämmer inte längre det sista jag motiverade för enligt energiprincipen :/

Dessutom märker jag nu att om jag enbart skulle tillämpa Newtons II lag så skulle jag få att -kx = ma, vilket inte överenstämmer med ekvation (2). Alltså, om jag enbart tillämpar Newtons IIa lag så kommer jag istället få precis samma uttryck som i mitt första svar, och detta kommer även bekräfta min motivering genom energiprincipen.

Varför blir det i sådana fall fel då jag väljer denna väg med momentekvationen?

$E_{k} = I \frac{{(\frac{d α}{d t})}^{2}}{2} = \frac{m r^{2}}{2} \frac{{(\frac{v_{0}}{r})}^{2}}{2} = \frac{m {v_{0}}^{2}}{4} = \frac{k x^{2}}{2} \Rightarrow x = v_{0} \sqrt{\frac{m}{2 k}}$

Stämmer

henrikus skrev:
$E_{k} = I \frac{{(\frac{d α}{d t})}^{2}}{2} = \frac{m r^{2}}{2} \frac{{(\frac{v_{0}}{r})}^{2}}{2} = \frac{m {v_{0}}^{2}}{4} = \frac{k x^{2}}{2} \Rightarrow x = v_{0} \sqrt{\frac{m}{2 k}}$

Stämmer

Tack! Jag har dock hittat facit till uppgiften nu och det verkar faktiskt inte alls överensstämma:

Måste man verkligen utnyttja energilagen här? Jag tänker att det borde gå att lösa på mitt sätt, det är bara fel på koefficienterna framför x^2 termen innanför parentesen, kanske är det någon liten miss jag har gjort i lösningen.

Jo nu ser jag, jag har använt fel tröghetsmoment och sedan fel längdkontraktion vid integreringen. Men hur kommer det sig att fjädern sträcker sig 2x och inte enbart x?

Varför sträcker sig fjädern 2x?

Dels har hjulets tyngdpunkt flyttas sig x.

Sedan har fästpunkten för snöret förflyttats x på periferin av hjulet. Rullning utan glidning.

x + x = 2x

Då förstår jag, då får jag ut rätt uttryck om jag sätter in 2x som övre integrationsgräns i mitt svar och byter ut tröghetsmomentet mot det faktiska.

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar