Mekanik I - när kan kraftsystemet vara ekvimoment med en enda kraft?

När kan inte ett kraftsystem bestående av resultant och kraftmoment vara ekvimoment med en enda kraft?

Du har förövrigt räknat fel på kryssprodukten.

Ebola skrev:

När kan inte ett kraftsystem bestående av resultant och kraftmoment vara ekvimoment med en enda kraft?

Du har förövrigt räknat fel på kryssprodukten.

Jag antar att detta sker då momentet och kraftresultanten är vinkelräta med varandra. 

Du har detta:

Alltså måste kraftresultanten och momentet kring en godtycklig punkt vara ortogonala mot varandra. Detta förstår man enkelt av att detta moment ska bildas av enkraftsresultanten och är därför ett tillräckligt kriterium.

Det du räknade ut var en felaktig beskrivning av kraftresultantens verkningslinje. Den korrekta uträkningen hade gett ekvationen för denna verkningslinje.

Tillägg: 3 jan 2022 19:37

Du räknar alltså ut det med:

$\vec{M}_A = \vec{M}_O + \vec{r}_{OA}\times \vec{F}$

Där du sedan har att:

$\vec{F} \cdot \vec{M}_A=0$

Eftersom A är en godtycklig punkt så räcker det med att kolla att

$\overrightarrow{F}\bullet {\overrightarrow{M}}_O=0$.

Hej, tack för ditt svar! Då förstår jag. Om jag gör som du säger så får jag att $2c-b-3a = 0$

för att säkerställa att skalärprodukten blir 0. Vilket var det sökta svaret. 

Hur ska man tolka detta geometriskt dock? Kan man tänka att om man bildar den del av vridmomentet som är parallellt med kraftresultanten, kallat M_II och sedan subtraherar bort  M_II från det ursprungliga momentet M₀ så förblir denna densamma om vridmomentet och kraftresultanten är vinkelräta mot varandra. Det vill säga skalärprodukten är 0. Bildar man sedan en allmänn vektor (x,y,z) kryssat med kraftresultanten F som skall vara densamma som det ursprungliga momentet M₀ så uppfyller endast (x,y,z) = (0,0,0) denna egenskap. Men vi vet redan att dessa är vinkelräta mot varandra, och kan därför inte ersättas med en enresultantkraft som ger upphov till samma vridmoment. 

Vi har att försöka hitta en lösning till $\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}={\overrightarrow{M}}_O$, där kraft och moment är givna och ortsvektorn är en obekant. Dvs om vi ser det som ett rent matematiskt problem så skall vi hitta lösningar till ekvationen

$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

Om vi skalärmultiplicerar båda sidor med $\overrightarrow{a}$ så får vi

$\left(\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{a}\right)\bullet \overrightarrow{a }= 0 = \overrightarrow{b}\bullet \overrightarrow{a}$, dvs om det finns en lösning så måste $\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}$ = 0. Eller omvänt om $\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}\ne 0$ så saknas lösning.

Vi antar att $\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}=0$ i fortsättningen.

Problemet blir trivialt om $\overrightarrow{a}$=0, så vi antar att så inte är fallet.

Vi kan nu skriva $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, där $\overrightarrow{u}$ är ortogonal mot $\overrightarrow{a}$ och $\overrightarrow{v}$ är parallell med $\overrightarrow{a}$.

Vi har nu

$\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\times \overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$.

Vi kryssmultiplicerar båda led med $\overrightarrow{a}$.

$\overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{a}\right)-\overrightarrow{a}(\overrightarrow{u}\bullet \overrightarrow{a})=$$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$, vilket ger

$\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}$. Dvs om det finns en lösning så ges $\overrightarrow{u}$ av detta uttryck. Vi visar att detta värde är en lösning genom insättning.

$\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}\times \overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{a})-\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b})}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}=\overrightarrow{b}$ - Check!

Notera att $\overrightarrow{v}$ kan vara vilken vektor som helst som är parallell med $\overrightarrow{a}$, dvs vi kan skriva $\overrightarrow{v}=c\overrightarrow{a}$, där c är en godtycklig reell konstant.

Således. Om $\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}=0$ och $\overrightarrow{a}\ne 0$ så finns lösningar som generellt ges av

$\overrightarrow{x}=\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{{\left|\overrightarrow{a}\right|}^2}+c\overrightarrow{a}$.

Lösning saknas om $\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}\ne 0$.