Mekanik: fritt fall

Majskornet skrev:

Hej!

Jag undrar kring bokens lösningsförslag till uppgiften, särskilt (8.18). Hur vet man att man inte behöver sätta absolutbelopp efter ln, dvs hur vet vi att g-ku/m ≥ 0? 

Du förväntas nog veta att en fallskärm gör att hopparen faller mindre snabbt, men att fallskärmen inte gör att hastigheten minskar (förutom just när fallskärmen vecklas ut).

Testade att sätta absolutbelopp ändå, men då blir det krångligt när man ska förenkla uttrycket. Även när jag kör utan absolutbelopp och kommer fram till ln(1-kv^2/mg)=-2ky/m, har jag svårt att förstå hur vi får fram v^2 ur det sen. Hur gör man?

Menar du steget som är vid pilen till höger om grafen? Man utnyttjar att e^VL = e^HL och stuvar om lite.

Det verkar vara hastigheten innan fallskärmen utlöses...

Om g-ku/m vore negativt skulle väl hopparen röra sig uppåt?!

Jan Ragnar skrev:

Om g-ku/m vore negativt skulle väl hopparen röra sig uppåt?!

Inte om hopparen hade en utgångsfart, väl? Men eftersom hopparen lämnar planet utan någon fart i x-led (tror jag?) har du rätt.

Felpost.

Tack för svaren!

Jag förstår nog inte riktigt vad g-ku/m står för. 

Angående fallskärmens påverkan på hopparen: bromsar inte en fallskärm in fallet? Så att både farten och hastigheten minskar? 

Två krafter vekar på fallskärmshopparen innan fallskärmen har vecklats ut, dels tyngdkraften mg, dels luftmotståndet, "som kan antas vara proportionellt mot kvadraten på hastigheten", som det står i uppfgiften. Accelerationsn beror på den resulterande kraften, d v s tyngdkraften minus luftmotståndet, så kraften på fallskärmshopparen är ma = mg-kv².Vill man ba accelerationen delar man båda sidor med m.

Eftersom v är standardförkortningen för hastighet blir det väldigt mycket krångligare nr du byter ut v mot u.

När fallskärmen har vecklat ut sig har man ett annat värde på k, så hastigheten blir betydligt lägre. Om fallskärmshopparen skulle ha hastigheten 256 km/h när hen landar på marken skulle detta vara fallskärmshopparens allra sista hopp.

Okej, tack! Så g-ku/m står helt enkelt för accelerationen? :D

Insåg nu att uppgiften inte behandlar vad som händer när fallskärmen vecklas ut. Men oavsett bromsas ju personen in av luftmotståndet med kraften kv^2. Och vi tänker alltså att denna kraft är mindre än tyngdkraften? (massan är ju densamma, så om accelerationen är positiv måste föregående gälla?)

Skulle inte det innebära att personen faller snabbare och snabbare (tills fallskärm vecklas ut) eftersom accelerationen är positiv?

Läs igenom uppgiften. Där har man räknat ut att när hopparens hastighet har kommit upp till 256 km/h så är den bromsande kraften lika stor som gravitationskraften, så hopparen ökar inte sin hastighet mer då.

Ja, okej, tack för hjälpen!

Du kan använda absolutbelopp hela vägen vilket skulle producera följande:

$-\dfrac{m}{2k}\ln|g-\dfrac{k}{m}v^2|=y+c$

Med $y_0=0 ; v =v_0$ får vi:

$c = -\dfrac{m}{2k}\ln|g-\dfrac{k}{m}v_0^2|$

Slutligen:

$y=\dfrac{m}{2k}(\ln|g-\dfrac{k}{m}v_0^2|-\dfrac{m}{2k}\ln|g-\dfrac{k}{m}v^2|)$

Som vi ser kan vi naivt få fyra olika alternativ att behöva titta på (jag antar hastighet enbart positivt nedåt). För enkelhetens skull ansätter jag gränsvärdet på hastigheten till $\alpha=\sqrt{mg/k}$. Kom ihåg att detta enkelt är då kraftjämvikt råder enligt Newtons andra lag. Vi får:

1. $v_0<\alpha$ , $v<\alpha$
2. $v_0<\alpha$ , $v>\alpha$
3. $v_0>\alpha$ , $v<\alpha$
4. $v_0>\alpha$ , $v>\alpha$

Något som kan vara viktigt i ett sådant här skede är att försöka utesluta några av alternativen även om man spår att räkningen blir enkel. Mest för att spara tid.

Alternativ 1 ser rimligt ut, utgångshastigheten $v_0$ är mindre än gränshastigheten och då kan inte hastigheten $v$ bli större än detta heller. Detta blir ett fall då vi accelereras upp till gränshastigheten.

Alternativ 2 ser orimligt ut. Utgångshastigheten kan till exempel vara lika med noll men vi har att $v(t=0)=v_0$. Därmed får vi en motsägelse.

Alternativ 3 ser också orimligt ut av samma anledning. Vi får en motsägelse.

Alternativ 4 ser rimligt ut därför att utgångshastigheten är större än gränshastigheten och då måste även hastigheten vara det. Detta blir ett fall då vi bromsas från hög hastighet till gränshastigheten.

Nedan ser du alternativ 1 och alternativ 4 i en graf: