Mekanik, fråga om rotation

$$\begin{gathered} T=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_z{\omega }^2 \\ v är tyngdpunktens hastighet \\ \omega är rotationshastigheten runt tyngdpunkten \\ {I}_z är tröghetsmomentet runt tyngdpunkten \end{gathered}$$

$\omega \ne \stackrel{.}{\theta }$

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} T=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_z{\omega }^2 \\ v är tyngdpunktens hastighet \\ \omega är rotationshastigheten runt tyngdpunkten \\ {I}_z är tröghetsmomentet runt tyngdpunkten \end{gathered}$$

$\omega \ne \stackrel{.}{\theta }$

Är du säker?
Svaret skulle enligt facit vara $T=\frac{3}{4}m(R+r)^2 \dot {\theta ^2 }$.

Jag är säker. Vad är $\frac{\omega }{{\displaystyle \stackrel{.}{\theta }}}$?

henrikus skrev:

Jag är säker. Vad är $\frac{\omega }{{\displaystyle \stackrel{.}{\theta }}}$?

Menar du som $\omega =\frac{v}{r}=> \frac{v}{r \dot {\theta }}$ ?

Inte riktigt.

$$\begin{gathered} Antag att rotationsvinke\ln för den lilla cirke\ln är \phi . Då är \\ \omega =\stackrel{.}{\phi .} \\ Eftersom det är rul\ln ing u\tan glidning inser man att \phi =k\theta \end{gathered}$$

Om man tänker lite inser man att $\phi =\theta +\frac{R}{r}\theta =\frac{R+r}{r}\theta$

$Vilket ger att \omega =\stackrel{.}{\phi }=\frac{R+r}{r}\stackrel{.}{\theta }$

henrikus skrev:

Inte riktigt.

$$\begin{gathered} Antag att rotationsvinke\ln för den lilla cirke\ln är \phi . Då är \\ \omega =\stackrel{.}{\phi .} \\ Eftersom det är rul\ln ing u\tan glidning inser man att \phi =k\theta \end{gathered}$$

Om man tänker lite inser man att $\phi =\theta +\frac{R}{r}\theta =\frac{R+r}{r}\theta$

$Vilket ger att \omega =\stackrel{.}{\phi }=\frac{R+r}{r}\stackrel{.}{\theta }$

Okej, men hur gör vi isåfall med tröghetsmomentet? ska det inte förflyttas till origo?

henrikus skrev:

Inte riktigt.

$$\begin{gathered} Antag att rotationsvinke\ln för den lilla cirke\ln är \phi . Då är \\ \omega =\stackrel{.}{\phi .} \\ Eftersom det är rul\ln ing u\tan glidning inser man att \phi =k\theta \end{gathered}$$

Om man tänker lite inser man att $\phi =\theta +\frac{R}{r}\theta =\frac{R+r}{r}\theta$

$Vilket ger att \omega =\stackrel{.}{\phi }=\frac{R+r}{r}\stackrel{.}{\theta }$

Fast vänta... kollade genom detta nu igen när jag är lite mer vaken och måste fråga hur du kommit till dina slutsatser?
$\varphi =k \theta$, (jag antar att k här är en hastighet?) men varför skulle $k= 1+ \frac{R}{r}$? 

Du får jätte gärna förtydliga. 

Jag hoppas denna bild hjälper dig:

Den lilla cirkeln rullar ett avstånd $r\varphi$ som måste vara lika med $(R+r)\theta$ eftersom den rullar utan att glida.

Det är detta som bildar proportionsfaktorn $k$.

Fick ihop att $(R+r)\dot { \theta } = r \omega =>\omega = \frac{(R+r)\dot { \theta }}{r}$.

Då får jag:
$T=\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} I_z \omega ^2$
Med: 

$v^2=(r \omega )^2 = (r \frac{(R+r)\dot { \theta }}{r} )^2 =((R+r)\dot { \theta } )^2$
$I_z =\frac{mr^2}{2}+m(R+r)^2$

$=> T =\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} I_z \omega ^2$

$T =\frac{1}{2}m((R+r)\dot { \theta } )^2 + \frac{1}{2}( \frac{mr^2}{2}+m(R+r)^2 )(\frac{(R+r)\dot { \theta }}{r}) ^2$

Vilket fortfarande blir konstigt för att det enligt svaret inte ska finnas en ensam r^2-term.

Vad betyder $\dfrac{1}{2}I_z \omega^2$ ? Kan du beskriva det med ord?

Du påstår att:

$I_z= \dfrac{mr^2}{2}+m(R+r)^2$

Kan du motivera detta?

SaintVenant skrev:

Vad betyder $\dfrac{1}{2}I_z \omega^2$ ? Kan du beskriva det med ord?

Du påstår att:

$I_z= \dfrac{mr^2}{2}+m(R+r)^2$

Kan du motivera detta?

Oj, häften av energin kommer av tröghetsmomentet (objektets ovillighet att bli "stoppad"), map. z- axeln genom masscentrum och vinkelhastigheten som cylindern roterar med (alltså inte $\dot { \theta }$)?

Precis, i och med att den lilla cylindern har ett masscentrum vid G med tröghetsmoment $I_G =\frac{mr^2}{2}$ måste denna förflyttas till rotationsaxeln för beräkningar. förflyttningen fås med steiners sats som $I_z$ (otydliga index, men!).

Jag har tidigare varit inne på om man skulle tänka på den lilla cylindern som en partikel med massan m som kretsar origo med tröghetsmoment $I_z =m(R+r)^2$, men det känns inte heller helt rätt.

Om den bara skulle glida friktionslöst runt ytan, vad blir totala kinetiska energin då?

Kan du jämföra det med ditt resultat och förstå vad du gör för fel?

Tips: Skillnaden jämfört med när den rullar utan att glida är cylinderns rotation runt sitt eget masscentrum.

SaintVenant skrev:

Om den bara skulle glida friktionslöst runt ytan, vad blir totala kinetiska energin då?

Kan du jämföra det med ditt resultat och förstå vad du gör för fel?

Tips: Skillnaden jämfört med när den rullar utan att glida är cylinderns rotation runt sitt eget masscentrum.

Om den bara skulle glida runt ytan måste

$T=\frac{1}{2}mv^2$ , med $v^2=((R+r)\dot { \theta })^2$

$=> T=\frac{1}{2}m((R+r)\dot { \theta })^2$. 

Förstår att felet måste ligga i rotationsdelen av den kinetiska energin, men är fortfarande inte helt säker på vart jag går fel i min tankegång. :/

Så, om en cylinder helt enkelt rullar utan att glida över en plan yta, vad är dess rotationsenergi? Ställ upp det uttrycket.

(Rotationshastighet $\omega$, massa $m$ och radie $r$)

Vad får du sedan om du adderar detta uttryck till det du fick i #14 för när den glider?

Kan du kommentera på det resultatet?

SaintVenant skrev:

Så, om en cylinder helt enkelt rullar utan att glida över en plan yta, vad är dess rotationsenergi? Ställ upp det uttrycket.

(Rotationshastighet $\omega$, massa $m$ och radie $r$)

Vad får du sedan om du adderar detta uttryck till det du fick i #14 för när den glider?

Kan du kommentera på det resultatet?

Jo precis, 
$T=\frac{1}{2}I_z \omega ^2=\frac{mr^2}{4} \omega ^2$

Jag förstår att svaret ska bli translationsdelen av den kinetiska energin + rotationsdelen för den mindre cylindern, men jag förstår inte hur det är okej att göra på det sättet... Har fått för mig att förflyttningen till origo är ett måste i alla fall*?
Hur kommer det sig att vi inte förflyttar tröghetsmomentet här?

* I alla fall då rotationsaxeln är kring origo, dvs! :)

För att rotationen är m.a.p tyngdpunkten för den lilla cylindern. Du använder ju $\omega$ i uttrycket. Således bör tröghetsmomentet vara m.a.p tyngdpunkten för den lilla cylindern. Det finns ingen anledning att flytta tröghetsmomentet till centrum av den stora cirkeln. 

SaintVenant skrev:

För att rotationen är m.a.p tyngdpunkten för den lilla cylindern. Du använder ju $\omega$ i uttrycket. Således bör tröghetsmomentet vara m.a.p tyngdpunkten för den lilla cylindern. Det finns ingen anledning att flytta tröghetsmomentet till centrum av den stora cirkeln. 

Insåg att min kommentar var lite otydlig, det jag menar är att den lilla cylindern inte endast roterar kring sin egen tyngdpunkt, utan den roterar kring den stora cylindern också.

Varför tittar vi då inte på rotationen kring den större cylindern också? Eller anses det inte vara rotation?
Hade vi i så fall sett på problemet annorlunda om den lilla cylindern roterade kring en hel större cylinder istället för halvan vi har nu?

Rotationen runt "origo" tas om hand i första uttrycket för s.k. translationsenergi. 

Du kan tänka det som:

$T_{rot, punktmassa} = \dfrac{1}{2}I_O \dot{\theta}^2$

Vad är $I_O$? Tänk på att cylindern modelleras som en punktmassa utan utbredning i uttrycket för translationell kinetisk energi.

Jämför sedan detta med $E_k = \dfrac{1}{2}mv_G^2$.

Märk väl att jag alltså pratar om rotationen för masscentrum runt origo. Rotationen runt den lilla cylinderns egna axel, vilken från rullning blir $R/r\cdot \theta$ och från omlopp blir $\theta$ med summa $\varphi=(R/r+1)\theta$, fångas helt upp av rotationella kinetiska energin man ställer upp.

Tack!
Och i så fall måste samma sak även vara sant för följande situation?

*där skivan har massan m och kan rotera kring G då stången släpps vid t=0 från ett horisontellt läge.