Mekanik, fråga om rotation

Hej!
Jag håller på med den här frågan:
Och förstår inte riktigt hur jag ska tänka. Än så länge har jag gjort såhär:
$T=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I_z \omega ^2$ (1)
v ges som:

$\bar r=(R+r) \bar e_r => \bar v =(R+r) \bar e_r \times \omega \bar e _\theta = (R+r) \omega \bar e _z$

Detta ger bandelens energi:

$\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(R+r)^2 \dot { \theta ^2}$ (tycker nästan att denna borde vara=0 då den lilla cylindern inte riktigt "rör på" sig, utan den roterar endast runt den stora cylindern?)

Spinndelen fås då vi förflyttar tröghetsmomentet från cylinderns masscentrum till punkten som systemet roterar kring:
$I_z =I_G +md^2 =\frac{mr^2}{2}+m(R+r)^2$

Detta insätts i (1):
$T=\frac{1}{2}m(R+r)^2 \dot { \theta ^2}+\frac{1}{2}(\frac{mr^2}{2}+m(R+r)^2 ) \omega ^2$

Med $\omega =\dot { \theta }$ :

$T=\frac{1}{2}m(R+r)^2 \dot { \theta ^2}+\frac{1}{2}(\frac{mr^2}{2}+m(R+r)^2 ) \dot { \theta ^2 }$

Och svaret är inte rätt.

Det jag då undrar är hur man istället ska tänka? Ska jag tänka på cylindern som en partikel som är sammankopplad med den stora halvcylindern? Men i så fall måste jag väl ändå förflytta tröghetsmomentet?

$T = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I_{z} ω^{2} v ä r t y n g d p u n k t e n s h a s t i g h e t ω ä r r o t a t i o n s h a s t i g h e t e n r u n t t y n g d p u n k t e n I_{z} ä r t r ö g h e t s m o m e n t e t r u n t t y n g d p u n k t e n$

$ω \neq \dot{θ}$

henrikus skrev:
$T = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I_{z} ω^{2} v ä r t y n g d p u n k t e n s h a s t i g h e t ω ä r r o t a t i o n s h a s t i g h e t e n r u n t t y n g d p u n k t e n I_{z} ä r t r ö g h e t s m o m e n t e t r u n t t y n g d p u n k t e n$

$ω \neq \dot{θ}$

Är du säker?
Svaret skulle enligt facit vara $T=\frac{3}{4}m(R+r)^2 \dot {\theta ^2 }$ .

Jag är säker. Vad är $\frac{ω}{\dot{θ}}$ ?

henrikus skrev:
Jag är säker. Vad är $\frac{ω}{\dot{θ}}$ ?

Menar du som $\omega =\frac{v}{r}=> \frac{v}{r \dot {\theta }}$ ?

Inte riktigt.

$A n t a g a t t r o t a t i o n s v i n k e \ln f ö r d e n l i l l a c i r k e \ln ä r φ . D å ä r ω = \dot{φ .} E f t e r s o m d e t ä r r u l \ln i n g u \tan g l i d n i n g i n s e r m a n a t t φ = k θ$

Om man tänker lite inser man att $φ = θ + \frac{R}{r} θ = \frac{R + r}{r} θ$

$V i l k e t g e r a t t ω = \dot{φ} = \frac{R + r}{r} \dot{θ}$

henrikus skrev:
Inte riktigt.

$A n t a g a t t r o t a t i o n s v i n k e \ln f ö r d e n l i l l a c i r k e \ln ä r φ . D å ä r ω = \dot{φ .} E f t e r s o m d e t ä r r u l \ln i n g u \tan g l i d n i n g i n s e r m a n a t t φ = k θ$

Om man tänker lite inser man att $φ = θ + \frac{R}{r} θ = \frac{R + r}{r} θ$

$V i l k e t g e r a t t ω = \dot{φ} = \frac{R + r}{r} \dot{θ}$

Okej, men hur gör vi isåfall med tröghetsmomentet? ska det inte förflyttas till origo?

henrikus skrev:
Inte riktigt.

$A n t a g a t t r o t a t i o n s v i n k e \ln f ö r d e n l i l l a c i r k e \ln ä r φ . D å ä r ω = \dot{φ .} E f t e r s o m d e t ä r r u l \ln i n g u \tan g l i d n i n g i n s e r m a n a t t φ = k θ$

Om man tänker lite inser man att $φ = θ + \frac{R}{r} θ = \frac{R + r}{r} θ$

$V i l k e t g e r a t t ω = \dot{φ} = \frac{R + r}{r} \dot{θ}$

Fast vänta... kollade genom detta nu igen när jag är lite mer vaken och måste fråga hur du kommit till dina slutsatser?
$\varphi =k \theta$ , (jag antar att k här är en hastighet?) men varför skulle $k= 1+ \frac{R}{r}$ ?

Du får jätte gärna förtydliga.

Jag hoppas denna bild hjälper dig:

Den lilla cirkeln rullar ett avstånd $r\varphi$ som måste vara lika med $(R+r)\theta$ eftersom den rullar utan att glida.

Det är detta som bildar proportionsfaktorn $k$ .

Svara

Visa senaste svar