Mekanik: dynamik för en kvadratisk metallram

Jag har börjat med att formulera kraft-och momentekvationerna:

$F_{B} \vec{e_{x}} + (F_{A} - 4 m g) \vec{e_{y}} = 4 m \vec{a_{G}}$ $M_{G} = \frac{16 m l^{2} α}{3} = (F_{A} - F_{B}) l$

Där jag i M_G har beräknat tröghetsmomentet för en stång, förfyttat det till masscentrum G för hela ramen och tagit det gånger fyra för att få ihop alla sidor av ramen. Jag har i momentet även antagit att krafterna i A och B är vinkelräta mot respektive spår då de borde vara normalkrafter?

Härifrån kommer jag dock inte vidare. Känns som att jag behöver ett mer samband då både alpha, F_A och F_B är okända, typ en känd acceleration för någon punkt? Eller så kanske jag måste göra en antagelse baserat på hur ramen ens kan röra sig. Uppskattar alla förslag och tips.

Enklast är att beskriva ett kinematiskt samband mellan vinkelaccelerationen $\alpha$ och de linjära accelerationerna $\bar{a}_x$ och $\bar{a}_y$ hos masscentrum.

Vet du hur du gör det? Kom ihåg relativ acceleration som:

$\vec{a}_A= \vec{a}_B + \vec{a}_{A/B}$

Har försökt tänka i sådana banor men vet inte riktigt vilken punkt jag kan sätta rörelsen relativt till. Finns (vad jag ser) ingen punkt med känd acceleration som skulle ge mig en likhet som inte inför en ny okänd variabel.

Om jag nu har tänkt rätt kring momentekvationen får jag: $α = \frac{3 (N_{A} - N_{B})}{16 m l}$

Och vidare (ex. A rel. G): $\vec{a_{A}} = \frac{F_{B}}{4 m} \vec{e_{x}} + (\frac{F_{A}}{4 m} - g) \vec{e_{y}} + l α \vec{e_{x}} + l α \vec{e_{y}}$

där de två första termerna är a_G och de två sista termerna är alpha x r_GA där jag kan stoppa in alpha från ovan. Här fastnar jag! Känns som att jag är helt ute och cyklar, något med just detta problem som inte går ihop för mig. Vilken punkters relativa acceleration ska jag försöka undersöka?

Kanske finns något samband man kan konstruera mellan accelerationen för A och B? Tänker att de är stelt förbundna så det borde finnas, vet dock inte hur det blir med riktningarna där

Du kan utnyttja att

${\vec{a}}_{A} = {\vec{a}}_{G} + \vec{α} \times \vec{G A}$

${\vec{a}}_{B} = {\vec{a}}_{G} + \vec{α} \times \vec{G B}$ .

Samt att

${\vec{a}}_{A} ∙ {\vec{e}}_{y} = 0$

${\vec{a}}_{B} ∙ {\vec{e}}_{x} = 0$ .

Juste! Då kan jag väl använda det tillsammans med det jag nämnde ovan att diagonalen är konstant d.v.s alla punkters acceleration längs diagonalen är samma? Både a_A:s och a_B:s komponenter i den riktningen måste vara samma som krafterna på masscentrums komponenter i samma riktning.

Testar med detta och återkommer, tack Ebola och Patenteramera

Mina minnen från tröghetsmoment och vinkelaccelerationer är alltför dåliga, men eftersom man söker reaktionskrafterna på A och B i begynnelseögonblicket borde man väl kunna se det som ett statiskt problem?

Dessutom har problemet likheter med en lutande stege som glider mot underlaget och faller mot marken. I det fallet rör sig stegens tyngdpunkt i en cirkelformad båge mot marken. Metallramens tyngdpunkt borde väl röra sig på samma sätt?

Intuitivt känns den blå kraftkomposanten som en normalkraft som ger återverkningar vid hjullagren A och B, medan den röda komposanten drar igång rörelsen.

Du kan annars läsa denna gamla tråd där trådskaparen hade gjort helt rätt men missat ett litet, litet räknefel i slutet:

https://www.pluggakuten.se/trad/mekanik-fk-ram-stangor-berakna-reaktionskraft-plan-rorelse/

Denne sätter nämligen korrekt upp:

$4m\ddot{x} = N_B$

Där denne har räknat ut att $\displaystyle \ddot{x} = \alpha L$ och fått $\alpha = 3g/10L$ . Tyvärr råkar denne sedan skriva fel och skriver:

$N_B = \alpha \cdot L \cdot m$

Du har hursomhelst också själv varit nära lösningen bortsett från den lilla viktiga detaljen att $\bar{a}_y = - \alpha L$ eller $\vec{a}_G=\alpha L \hat{i} -\alpha L \hat{j}$ .

Detta kan du förstå baserat på att om rotationen är moturs kommer masscentrum röra sig snett nedåt till höger. Jan Ragnars figur och analogin med en stege som glider ned för en vägg fungerar bra här.

Tror jag har lyckats lösa den nu, dock ganska mycket mer omständigt.

Tänkte som sagt att accelerationen för A,B och G projicerat på diagonalen är samma vilket gav att beloppen för $a_{A}$ = $a_{B} = a_{G x}$ + $a_{G y}$ .

Sedan tänkte jag att om man inför ett nytt koordinatsystem i A så utför diagonalen AB en rotationsrörelse runt A. Då kunde jag relatera a_B och a_G till vinkelhastigheten i A. Efter det använde jag helt enkelt momentekvationen i A där en kraft tillkommer för masscentrums acceleration relativt A, ritade det i bilden nedan.

Några åsikter? Funkar resonemanget?

Det fungerar absolut och är ungefär lika omständligt egentligen.

Det är dock svårt att generalisera och faller ihop om du har en rektangel istället. Då rekommenderar jag den mer traditionella metoden.

Kan du visa hela din uträkning?

Svara

Visa senaste svar