Mekanik

Spännkraften i repet är P. Om systemet är i jämvikt och vi kan försumma massan hos rep och taljor måste Mg=4P, snitta och frilägg kraftsituationen på de nedre skivorna så blir det tydligt. Drar vi med P påverkar kroken massan med kraften 4P.

Ett annat sätt att förstå problemet är att fundera över vad som händer om vi drar ned repet (vid P) en bestämd sträcka, t.ex. 4 cm. Åt vilket håll och hur många cm ($\Delta Y$) rör sig vikten då?

Arbetet som P uträttar ($P\cdot \Delta L$) ska vara lika med $F\cdot \Delta Y$, vilken utväxling ger det?

Hej Guggle! 

Jag förstår metod nummer 1 men inte riktigt det andra sättet. Det framstår för mig som om repet sitter på en krok. Repet är helt utsträckt och kan därmed inte förlängas någon sträcka. Dock så antar jag också att man ändå kan föreställa sig det och beräkna svaret. Visa mig gärna hur du tänker. 

Mitt förslag på sätt 2: P0,04=Mg0.01 (Är det enda sättet jag kan uttrycka svaret på så att samma kraftsituation gäller efter vi dividerar med 0.01. Repet håller emot fyra gånger så mycket.)

Det är bra att du förstår metod nummer 1 och det är fullt tillräckligt. Men som överkurs och kul tidsfördriv kan det vara värt att fundera lite djupare över uppgiften.

Repet, som är otöjbart och därmed av fast längd, $l_1$ löper friktionsfritt över trissorna ett antal gånger fram och tillbaka i y-led. Det är viktigt att förstå att spännkraften i repet naturligtvis är samma i hela repet. Vi vet att spännkraften är P.

Om vi nu tänker oss att vi drar repet en bit nedåt, se bild till höger, kommer massan att förflytta sig en sträcka uppåt i y-led.

I det här fallet går det, åtminstone efter en stund, att klura ut att sträckan $x_2-x_1=-4\cdot (y_2-y_1)$.

Ett sätt att göra det systematiskt är att följa repet och försöka bestämma hur långt det är.

Först går repet från den övre kroken ungefär sträckan $y_1$ ned till den första trissan. Vi kommer här låtsas att de två nedre trissorna befinner sig på ungefär samma höjd och har ungefär samma diameter (D). Sedan går repet runt första trissan och det är en halvcirkel, dvs $\pi D/2$. Efter det går repet tillbaka sträckan $y_1$, runt nästa trissa sträckan $\pi D/2$ och sedan ned igen sträckan $y1$ osv. Slutligen går repet från den sista trissan sträckan $x_1$ till kraftens angreppspunkt.

Längden av repet är alltså (väldigt ungefär)

$l_1=4y_1+4\cdot(\pi D/2)+x_1$

I bilden till höger får vi

$l_1=4y_2+4\cdot(\pi D/2)+x_2$

Sätter vi ekvationerna lika ($l_1=l_1$) får vi

$4y_1+4\cdot(\pi D/2)+x_1=y_2+4\cdot(\pi D/2)+x_2$

$4(y_1-y_2)=x_2-x_1$

Med införandet av beteckningarna $\Delta y=y_2-y1$ och $\Delta x=x_2-x1$

$\Delta y = -\frac{\Delta x}{4}$

Det som gör att vi kan vara lite "slarviga" när vi bestämmer repets längd är att trissornas diametrar och andra konstanta förhållanden tar ut varandra.

Vi ser att repänden vid P måste förflyttas 4 gånger så långt som vikten. Ibland säger man "Det man vinner i kraft förlorar man i väg" eller "mekanikens gyllene regel".

Vill man vara lite mer avancerad kan man se $x_1$ och $y_1$ som tidsberoende koordinater. Tidsderivatan av repets längd, liksom derivatorna av diametrarna för trissorna och och eventuella fasta skillnader mellan trissorna i höjdled måste vara 0 (de är ju konstanta). Vi får (prick över en bokstav betyder att vi har deriverat den med avseende på tid.)

$\frac{\mathrm{d} l_1}{\mathrm{d} t}=4\dot{y}_1+\dot{x}_1+0=0$

$\dot{y}_1=-\frac{\dot{x}_1}{4}$

Alltså måste hastigheten av vikten vara motriktad rörelsen repändan vid P. Om vi tvingar repändan vid P att röra sig med hastigheten v kommer vikten att röra sig med hastigheten $-\frac{v}{4}$

Tack så mycket!