Mekanik 2 Bestäm hastigheten vG hos cylinderns massscentrum G i den lägsta punkten på cylinderytan.

Facit använder energibevarande, där T är rotationsenergin och V är lägesenergin. Rotationsenergin i botten av cylindern är samma som lägesenergins förändring. Det luriga de gjort ligger i "Använd momentancentrum C". Det betyder att de istället för att ta rotationen kring cylinderns mittpunkt (vilket krävt att man också lade till en term för den linjära rörelsen), räknar de på rotationen runt kontaktytan med yttercylindern, C. På det sättet beskrivs rörelsen som en ren rotation, och inte rotation+translation. Då blir tröghetsmomentet I=3mr^2/2 (istället för mr^2/2, som är tröghetsmomentet runt en cylinders centrumaxel)

Okej tack så mycket, men då på en liknande uppgift som denna

Hur gör man då för att få Ic?

detta är facit

Vad menar du med Ic? Du vet att den kinetiska energin är rotationsenergin hos ringen:

$T_{rot}=\frac{1}{2}{I}_O{\omega }^2$

Masströghetsmomentet kring O är enligt steiners:

$I_O=I_G+m{r}^2$

Där $I_{\mathit{G}}$ är masströghetsmomentet (Edit: Med avseende på sitt masscentrum) för en ring med försumbar bredd.

Ah okej vad är Ig för denna ring? Är de $m{r}^2/2$?

Nej. Masströghetsmomentet är:

$I_G=\int r^{2}dm$

Där vi får att $dm=\frac{m}{2\pi r}rd\theta =\frac{m}{2\pi }d\theta$, se figur nedan:

Detta ger slutligen:

$I_G=\int r^{2}dm=\frac{m{r}^2}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }d\theta =\boxed{ { }_{ }m{r}^{2^{{}^{ }} }}$