medelvärdessatsen

Medelvärdessatsen säger att

$\exists \xi \in (y,x): f\left(x\right)-f\left(y\right)=f\text{'}\left(\xi \right)(x-y)$

Eftersom $\xi \in (y,x)\subset i$ vet du att$f\text{'}\left(\xi \right)\ge 1$. Använd den olikheten tilsammans med likheten ovan.

Medelvärdessatsen säger att om f är kontinuerlig på intervallet [a,b] och deriverbar på intervallet (a,b), då existerar det en punkt c som ligger i intervallet (a,b) sådan att:

$f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

I ditt fall har du en deriverbar funktion på ett intervall $i$ , således existerar det ett sådant c som tillhör $i$. Du har också att f'(x)$\ge$1 för alla x tillhörande $i$. Vad måste då gälla för f'(c)?

Joodah skrev:

Medelvärdessatsen säger att om f är kontinuerlig på intervallet [a,b] och deriverbar på intervallet (a,b), då existerar det en punkt c som ligger i intervallet (a,b) sådan att:

$f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

I ditt fall har du en deriverbar funktion på ett intervall $i$ , således existerar det ett sådant c som tillhör $i$. Du har också att f'(x)$\ge$1 för alla x tillhörande $i$. Vad måste då gälla för f'(c)?

Hej. Jag förstår inte hur jag visar att x-y är mindre?

haraldfreij skrev:

Medelvärdessatsen säger att

$\exists \xi \in (y,x): f\left(x\right)-f\left(y\right)=f\text{'}\left(\xi \right)(x-y)$

Eftersom $\xi \in (y,x)\subset i$ vet du att$f\text{'}\left(\xi \right)\ge 1$. Använd den olikheten tilsammans med likheten ovan.

Jag förstår inte riktigt hur man visar det? Hur vet jag att x-y är större när man delar på något som är större än 1 i VL?

Om x=y så har du uppenbarligen att f(x)-f(y) = x-y.

Om x > y så har vi att x-y > 0 och vidare att

f(x)-f(y) = f’(a)(x-y), där vi vet att a ligger i (y, x) $\subset$ i. Eftersom a då ligger i i så gäller det att f’(a)$⩾$1.

Vi har följande axiom för olikheter:

Om $\alpha ⩽\beta$ och $0⩽\gamma$ så gäller det $\alpha \gamma ⩽\beta \gamma$.

Vi tillämpar detta axiom på våra förutsättningar.

Vi har att $1⩽$f’(a) och att 0<x-y; det gäller därför enligt axiomet att 1(x-y)$⩽$f’(a)(x-y), och därmed så har vi, med utnyttjande av vad sagts tidigare, att f(x)-f(y)$⩾$x-y, då x$>$y.