medelvärdessatsen

Bevisa, med hjälp av medelvärdessatsen, att om en funktion definierad på ett
intervall har en derivata som är positiv så är funktionen strängt växande.

Medelvärdessatsen säger ju att om f är deriverbar i ]a,b[ och f är kontinuerlig i [a,b] så finns minst en punkt c, a<c<b, sådan att f(b)-f(a)=f´(c)(b-a).

Men vet inte hur jag ska använda det för att visa att derivatan av f är större än 0 i intervallet [a,b].

Jag har bara börjat med att antagit att f är definierad på [a,b] och att f´(c)>0, a<c<b. Hur kan jag ta mig vidare?

Tacksam för hjälp!

Börja med att skriva ner definitionen av strängt växande så att du vet vad du vill visa.

Sen kan du fundera över vad vi i detta fall kan säga om produkten $f'(c)\left(b-a\right)$ . Finns det kanske någon lämplig undre begränsning?

Moffen skrev:
Börja med att skriva ner definitionen av strängt växande så att du vet vad du vill visa.
Sen kan du fundera över vad vi i detta fall kan säga om produkten $f'(c)\left(b-a\right)$ . Finns det kanske någon lämplig undre begränsning?

Def. f(x) är strängt växande på intervallet ]a,b[ om f´(x)>0 i ]a,b[.

Om derivatan är positiv och b>a kommer väll f´(c)(b-a) vara positiv alltså större än 0?

Jag skulle vilja säga något mer åt hållet att:

Definition: En funktion $f: U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $U = \left(a,b\right), a<b$ är strängt växande om för varje $c_{1}<c_{2}$ så gäller att $f(c_{1})<f(c_{2})$ .

Så det du vill visa är alltså om det är så att $f'(c)>0$ för alla $c \in U$ så gäller att $f(x)<f(y)$ om $x<y$ och $x,y \in U$ .

Notera att om vi skulle använda din definition skulle det inte finnas något att bevisa eftersom vi redan antar att $f'(c)>0$ för alla $c \in U$ .

Men din idé är rätt. Du kan begränsa $f'(c)\left(b-a\right)>0$ eftersom $f'(c)>0$ och $a<b$ .

Kommer du vidare härifrån?

Moffen skrev:
Jag skulle vilja säga något mer åt hållet att:
Definition: En funktion $f: U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $U = \left(a,b\right), a<b$ är strängt växande om för varje $c_{1}<c_{2}$ så gäller att $f(c_{1})<f(c_{2})$ .
Så det du vill visa är alltså om det är så att $f'(c)>0$ för alla $c \in U$ så gäller att $f(x)<f(y)$ om $x<y$ och $x,y \in U$ .
Notera att om vi skulle använda din definition skulle det inte finnas något att bevisa eftersom vi redan antar att $f'(c)>0$ för alla $c \in U$ .
Men din idé är rätt. Du kan begränsa $f'(c)\left(b-a\right)>0$ eftersom $f'(c)>0$ och $a<b$ .
Kommer du vidare härifrån?

vet inte :( vad kan jag börja med att göra?

Svara

Visa senaste svar