5 svar
307 visningar
Louisehejhej 13 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2017 15:49

medelvärdessatsen

Hej,

har stött på ett problem som jag skulle behöva lite tips och ledning på.

 

"Funktionen f är deriverbar i ett intervall i och f'(x)1 för alla x  i .

visa att f(x)-f(y)x-y

om xi , yi och xy

 

Detta är ju något man ska visa med medelvärdessatsen men jag förstår inte hur man ska börja..

tacksam för svar

haraldfreij 1322
Postad: 8 feb 2017 16:28

Medelvärdessatsen säger att

ξ(y,x): f(x)-f(y)=f'(ξ)(x-y)

Eftersom ξ(y,x)i vet du attf'(ξ)1. Använd den olikheten tilsammans med likheten ovan.

Joodah 2 – Fd. Medlem
Postad: 8 feb 2017 16:29

Medelvärdessatsen säger att om f är kontinuerlig på intervallet [a,b] och deriverbar på intervallet (a,b), då existerar det en punkt c som ligger i intervallet (a,b) sådan att:

f'(c)=f(b)-f(a)b-a

I ditt fall har du en deriverbar funktion på ett intervall i , således existerar det ett sådant c som tillhör i. Du har också att f'(x)1 för alla x tillhörande i. Vad måste då gälla för f'(c)?

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 24 nov 2020 10:26
Joodah skrev:

Medelvärdessatsen säger att om f är kontinuerlig på intervallet [a,b] och deriverbar på intervallet (a,b), då existerar det en punkt c som ligger i intervallet (a,b) sådan att:

f'(c)=f(b)-f(a)b-a

I ditt fall har du en deriverbar funktion på ett intervall i , således existerar det ett sådant c som tillhör i. Du har också att f'(x)1 för alla x tillhörande i. Vad måste då gälla för f'(c)?

Hej. Jag förstår inte hur jag visar att x-y är mindre?

qole 68 – Fd. Medlem
Postad: 24 nov 2020 10:28
haraldfreij skrev:

Medelvärdessatsen säger att

ξ(y,x): f(x)-f(y)=f'(ξ)(x-y)

Eftersom ξ(y,x)i vet du attf'(ξ)1. Använd den olikheten tilsammans med likheten ovan.

Jag förstår inte riktigt hur man visar det? Hur vet jag att x-y är större när man delar på något som är större än 1 i VL?

PATENTERAMERA 5987
Postad: 24 nov 2020 11:57 Redigerad: 24 nov 2020 11:58

Om x=y så har du uppenbarligen att f(x)-f(y) = x-y.

Om x > y så har vi att x-y > 0 och vidare att

f(x)-f(y) = f’(a)(x-y), där vi vet att a ligger i (y, x)  i. Eftersom a då ligger i i så gäller det att f’(a)1.

Vi har följande axiom för olikheter:

Om αβ och 0γ så gäller det αγβγ.

Vi tillämpar detta axiom på våra förutsättningar.

Vi har att 1f’(a) och att 0<x-y; det gäller därför enligt axiomet att 1(x-y)f’(a)(x-y), och därmed så har vi, med utnyttjande av vad sagts tidigare, att f(x)-f(y)x-y, då x>y.

Svara
Close