Medelvärde av funktion

Din första tanke var rätt, och det beror på att medelvärdet av cos-funktionen över intervallet är noll. Så det är bäst att räkna ordentligt, och slippa gissa.

Men jag tycker du ska gå på din intution och beräkna en integral. Hur fortsätter du?

Ja, sinus och cosinus är symmetriska kring sin vågräta axel, och en beräkning i stil med $\underset{t\to \infty }{\lim }\left(\frac{\left({\int }_{-t}^{t}a+\sin \left(kx\right)dx\right)}{t}\right)$ kommer att vara lika med a. Däremot måste du vara noggrann med intervallet. Om $f(-t)=f(t)$, och du går hela perioder däremellan, blir medelvärdet a, men säg att du börjar i juni och räknar till och med augusti, då kommer medelvärdet inte att vara åtta.

Geometriskt går detta att se eftersom $\cos{x\pm\pi}=-\cos{x}$ för alla x. Alla bulor ovanför den vågräta symmetrilinjen är med andra ord lika stora som bulorna under symmetrilinjen. Du kan bevisa detta algebraiskt, genom att integrera över intervallet, och dividera med antalet månader, men en motivering borde fungera fint också. :)

Ja tack JohanF och Smutstvätt. Hur kunde jag missa det? Blev lite lurad av grafen, men självklart så här efteråt :-)

Det skulle vara intressant att beräkna en integral på det. Smutstvätt har ju givit mig en bra start att utgå från.
Frågan är om det kommer lite mer om det två kapitel längre fram i matte 4 som handlar om integraler, men jag ska göra ett försök? Kul med utmaningar.

ConnyN skrev:

Ja tack JohanF och Smutstvätt. Hur kunde jag missa det? Blev lite lurad av grafen, men självklart så här efteråt :-)

Det skulle vara intressant att beräkna en integral på det. Smutstvätt har ju givit mig en bra start att utgå från.
Frågan är om det kommer lite mer om det två kapitel längre fram i matte 4 som handlar om integraler, men jag ska göra ett försök? Kul med utmaningar.

Spinn vidare en stund på synsättet med oändligt smala och oändligt många staplar. Testa och beräkna medelvärde med den metoden.

När du har testat en stund kan du tjuvkika här 

https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=3516&id=3516

Testa integrera! Tar mig friheten att ge dig några handplockade tips isåfall:

• Primitiva funktionen till cos är -sin, så om man har cos(ax) blir det -a sin(ax)
• sin(0 + a) = sin(2pi + a) eftersom 2pi är ett helt varv i enhetscirkeln
• Uppgiften beskriver hela månadstal och känns därför som en vanlig diskret summa. Om man ska integrera över en kontinuerlig mängd kan jag tänka mig att gränserna kan vara luriga. Ska man integrera från januari till december? Alltså 1 till 12? Eller 0 till 12? Men det finns ju ingen "månad 0"? Tänk här på att du ska få med hela året, och att du har gått över till kontinuerlig tid. Så "x" är nu "tid" och inte "månadsnummer".

Lycka till

För att få klart för mig hur staplar och siffror skulle hanteras skrev jag ut sidan mha. GeoGebra (en bra grafhanterare)

Det var bra att ni gav mig tipset att tänka till lite innan jag började med integralen.

Synd att det är så vackert väder, så det får bli hus och trädgårdsunderhåll först nu. Belöningen att läsa om Integraler får bli efter middag ;-)

Nu har jag kikat på en lösning med integral, men fastnar på övergången på delen  $8,6\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right(x-7\left)\right)$
Hur gör jag om den till primitiv funktion?

Så här har jag ställt upp  $\frac{1}{12}{\int }_0^{12}8+8,6\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right(x-7\left)\right) dx$ =  $\frac{1}{12}{\left[8·x+8,6???\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right(12-7\left)\right)\right]}_0^{12}$

1/12 är alltså antalet månader vi vill titta på. För två månader hade vi skrivit 1/2 och då hade vi kanske haft 
7 som övre gräns och 5 som undre gräns om det var juni och juli vi var intresserade av medeltemperaturen för.

Kan det vara en början eller är det mycket fel?

Du har glömt att dividera med inrederivatan när du integrerar. :) 

Är det  $\frac{\mathrm{\pi }}{6}?$

Blir det då  $\frac{8,6·\mathrm{\pi }}{6} ?$

Om du dividerar med inrederivatan får du faktorn $\frac{8,6·6}{\mathrm{\pi }}$. :)

Ber förresten om ursäkt ConnyN, jag hade en dålig känsla i bakhuvudet och läste mitt inlägg igen. Verkar ha haft hjärnsläpp när jag skrev primitiva funktionen till cos, och blandat ihop allt helt med derivering - därav att inre derivatan ploppade ut rakt av och inte som 1/a.

Som tur är verkar du ha koll på läget och är på rätt spår trots min brain fart. Nu påverkar ju inte konstanten så mycket i just den här uppgiften, men förstås inte bra alls att ge felaktiga tips.

foppa skrev:

Ber förresten om ursäkt ConnyN, jag hade en dålig känsla i bakhuvudet och läste mitt inlägg igen. Verkar ha haft hjärnsläpp näro jag skrev primitiva funktionen till cos, och blandat ihop allt helt med derivering - därav att inre derivatan ploppade ut rakt av och inte som 1/a.

Som tur är verkar du ha koll på läget och är på rätt spår trots min brain fart. Nu påverkar ju inte konstanten så mycket i just den här uppgiften, men förstås inte bra alls att ge felaktiga tips.

Jag tycker det lilla misstaget uppvägdes gott och väl med din kommentar om svårigheterna att göra en diskret talserie kontinuerlig. Det är ju stor risk att det blir (lite) fel om man gör så. I det här specifika fallet funkar det tack vare utseendet på funktionen. 
Annars brukar integraler vara en bra metod att boxa in gränser för summan i en diskret talserie, men kanske inte alltid om man ska få exakt värde.

Smutstvätt skrev:

Om du dividerar med inrederivatan får du faktorn $\frac{8,6·6}{\mathrm{\pi }}$. :)

 

Ja jag var nog lite trött efter det "skadliga trädgårdsarbetet" :-)

Du var lite snäll där när du trodde jag glömt den inre derivatan. Jag hade börjat ana att det hade med den att göra efter mycket bläddrande i litteraturen jag har, men det bästa jag hittade var om derivering. Att integrera trigonometriska funktioner hittade jag inte mycket om? Även om det går att tänka baklänges så är det ju lite förvirrande.

foppa skrev:

Ber förresten om ursäkt ConnyN, jag hade en dålig känsla i bakhuvudet och läste mitt inlägg igen. Verkar ha haft hjärnsläpp när jag skrev primitiva funktionen till cos, och blandat ihop allt helt med derivering - därav att inre derivatan ploppade ut rakt av och inte som 1/a.

Som tur är verkar du ha koll på läget och är på rätt spår trots min brain fart. Nu påverkar ju inte konstanten så mycket i just den här uppgiften, men förstås inte bra alls att ge felaktiga tips.

Ingen fara. Ditt svar var ändå inspirerande och bidrog till att jag gick grundligare tillväga.

JohanF skrev:

ConnyN skrev:

Ja tack JohanF och Smutstvätt. Hur kunde jag missa det? Blev lite lurad av grafen, men självklart så här efteråt :-)

Det skulle vara intressant att beräkna en integral på det. Smutstvätt har ju givit mig en bra start att utgå från.
Frågan är om det kommer lite mer om det två kapitel längre fram i matte 4 som handlar om integraler, men jag ska göra ett försök? Kul med utmaningar.

Spinn vidare en stund på synsättet med oändligt smala och oändligt många staplar. Testa och beräkna medelvärde med den metoden.

När du har testat en stund kan du tjuvkika här 

https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=3516&id=3516

Tack för detta svar. Det bidrog verkligen till att jag vågade att ta itu med integralen och fick den att stämma med både tolv och två månader vid testning.

Tack till er alla tre som svarat. Otroligt inspirerande och det ger mig verkligen hopp om att jag kan fortsätta med envariabelanalys och boken "Calculus" efter gymnasiematten.

ConnyN skrev:

JohanF skrev:

Visa föregående citat

ConnyN skrev:

Ja tack JohanF och Smutstvätt. Hur kunde jag missa det? Blev lite lurad av grafen, men självklart så här efteråt :-)

Det skulle vara intressant att beräkna en integral på det. Smutstvätt har ju givit mig en bra start att utgå från.
Frågan är om det kommer lite mer om det två kapitel längre fram i matte 4 som handlar om integraler, men jag ska göra ett försök? Kul med utmaningar.

Spinn vidare en stund på synsättet med oändligt smala och oändligt många staplar. Testa och beräkna medelvärde med den metoden.

När du har testat en stund kan du tjuvkika här 

https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=3516&id=3516

Tack för detta svar. Det bidrog verkligen till att jag vågade att ta itu med integralen och fick den att stämma med både tolv och två månader vid testning.

Tack till er alla tre som svarat. Otroligt inspirerande och det ger mig verkligen hopp om att jag kan fortsätta med envariabelanalys och boken "Calculus" efter gymnasiematten.

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

JohanF skrev:

 

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

Ja det stämmer. Tillsammans med föreläsningarna av professor David Jerison vid MIT Massachusetts från hösten 2006.

De refererar till en annan lärobok, men det ingår mycket material i kursen att skriva ut så det bör nog gå bra ändå.

Att jag valt Calculus. A Complete Course av Adams beror på att den är populär i Sverige  och då kan jag förhoppningsvis hjälpa andra bättre på pluggakuten om jag nu hinner dit medans boken fortfarande är aktuell :-)

Jag får trösta mig med att Euklides Elementa fortfarande fungerar rätt bra efter 2300 år.

ConnyN skrev:

JohanF skrev:

 

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

Ja det stämmer. Tillsammans med föreläsningarna av professor David Jerison vid MIT Massachusetts från hösten 2006.

De refererar till en annan lärobok, men det ingår mycket material i kursen att skriva ut så det bör nog gå bra ändå.

Att jag valt Calculus. A Complete Course av Adams beror på att den är populär i Sverige  och då kan jag förhoppningsvis hjälpa andra bättre på pluggakuten om jag nu hinner dit medans boken fortfarande är aktuell :-)

Jag får trösta mig med att Euklides Elementa fortfarande fungerar rätt bra efter 2300 år.

Jag får skylla på att jag förmodligen bara minns de romantiska ögonblicken, vi plöjde tegelstenen för snart trettio år sedan på Teknisk Fysik. Jag minns att vi brukade skoja om hur amerikanska läroboksförfattare fick betalt per ord. Men jag minns också att jag gillade boken skarpt, just tack vare de många illustrationerna och ord-mängden.

Bra val för oss som gärna vill tänka i bilder.  

JohanF skrev:

 

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

Ah the memories

foppa skrev:

JohanF skrev:

 

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

Ah the memories

Jag kunde inte hålla mig, var tvungen att gå och gräva lite i mina boklådor... Utgåva 1991.

JohanF skrev:

foppa skrev:

Visa föregående citat

JohanF skrev:

 

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

Ah the memories

Jag kunde inte hålla mig, var tvungen att gå och gräva lite i mina boklådor... Utgåva 1991.

Är det första upplagan?
Jag har lyckats hitta alla upplagor utom första och andra upplagan vid en sökning på internet.

Själv har jag åttonde upplagan. (Tur att det inte var den nionde, som tydligen var en sorglig historia :-)

ConnyN skrev:

JohanF skrev:

Visa föregående citat

foppa skrev:

JohanF skrev:

 

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

Ah the memories

Jag kunde inte hålla mig, var tvungen att gå och gräva lite i mina boklådor... Utgåva 1991.

Är det första upplagan?
Jag har lyckats hitta alla upplagor utom första och andra upplagan vid en sökning på internet.

Själv har jag åttonde upplagan. (Tur att det inte var den nionde, som tydligen var en sorglig historia :-)

Vilken mystisk kärleksförklaring till "Anne"!

(Eller är det ett nyavslutat ex som fick den olycklige Robert att låsa in sig på kontorsrummet och inte komma ut förrän första utkastet av boken var klart… eller kanske var det hon som var anledningen att nionde utgåvan blev en så sorglig historia...).

Så många frågor, så få svar.

Finns tillägnandet kvar i senare utgåvor?

Jag kan inte riktigt tolka vad som står i min bok. Kanske att den först utgåvan gavs ut 1990 och detta är andra?

JohanF skrev:

ConnyN skrev:

Visa föregående citat

JohanF skrev:

foppa skrev:

Visa föregående citat

JohanF skrev:

 

Är det tegelstenen Calculus, A Complete Course (Adams) du menar? 

Ah the memories

Jag kunde inte hålla mig, var tvungen att gå och gräva lite i mina boklådor... Utgåva 1991.

Är det första upplagan?
Jag har lyckats hitta alla upplagor utom första och andra upplagan vid en sökning på internet.

Själv har jag åttonde upplagan. (Tur att det inte var den nionde, som tydligen var en sorglig historia :-)

Vilken mystisk kärleksförklaring till "Anne"!

(Eller är det ett nyavslutat ex som fick den olycklige Robert att låsa in sig på kontorsrummet och inte komma ut förrän första utkastet av boken var klart… eller kanske var det hon som var anledningen att nionde utgåvan blev en så sorglig historia...).

Så många frågor, så få svar.

Finns tillägnandet kvar i senare utgåvor?

Jag kan inte riktigt tolka vad som står i min bok. Kanske att den först utgåvan gavs ut 1990 och detta är andra?

Mycket intressanta funderingar :-)  Sökte lite på hans namn och ev. familj, men fann inget konstigt nog?

I åttonde upplagan har han dedikerat den "To Nooreen and Sheran" Barn kanske?

Det ser ut att vara första upplagan du har. Andra upplagan har angivit det på framsidan och verkar att ha kommit ut samma år eller möjligen året efter. 

En bild på upplagorna

Nördig jag? Vadå?!?!