Medelpunkts- och randvinkel
1. Punkterna A,B,C ligger på en cirkel med medelpunkt O. Om vinkeln ABC är lika med 60 grader, så är vinkeln AOC lika med
(a) 30 grader
(b) 120 grader
(c) annat tal
(d) kan ej avgöras
2. Punkterna A,B,C ligger på en cirkel med medelpunkt O. Om vinkeln AOC är lika med 60 grader, så är vinkeln ABC lika med
(a) 30 grader
(b) 120 grader
(c) annat tal
(d) kan ej avgöras
Svaret på 1 är (b) och svaret på 2an är (d). Jag kom fram till svaret i 1 och delvis 2. Med hjälp av geogebra kom jag fram till att vinkeln kunde vara antingen 30 eller 210 grader. Eftersom vi inte vet vilken av de så kan vi inte säga vilken och svaret blir därmed d). Dock så undrar jag hur man algebraiskt kan komma fram till 210 grader. Jag försökte finna något samband som kunde beskriva den andra vinkeln som B kan anta men lyckades tyvärr inte. Det behövs kanske inte för att lösa uppgiften men jag är intresserad ändå. (Att ändra på medelpunktsvinkeln till 300 grader är förmodlingen icke godtagbart (såg någon göra det på det gamla forumet))
https://www.geogebra.org/m/xsp4Uw6Y
Jag tror du har lurats lite av hur GeoGebra mäter vinklar. När punkten B befinner sig på samma halvcirkel som både A och C kommer vinkeln vid B att bli 150 grader. GeoGebra har gett dig den yttre vinkeln till den du söker. Supplementvinkeln till 150 grader är 30 grader och det är ingen slump. Där har du ditt samband, ABC = 180 - AOC/2
En vinkel i en triangel kan aldrig vara större än 180 grader - vinkelsumman i en triangel är ju 180 grader (och om en vinkel skulle vara nästan 180 grader blir det inte mycket kvar för de båda andra vinklarna att dela på).
Punkten B kan ju ligga var som helst på cirkeln (utom i punkterna A och C) så den triangeln kan se ut på väldigt många sätt, men om punkten är nånstans på "den lilla tårtbiten mellan A och C" så står ju den vinkeln på den cirkelbåge som har medelpunktsvinkeln 360-60 = 300 grader, så den randvinkeln blir hälften av det, d v s 150 grader. Om punkten är nånstans på "resten av tårtan" så står randvinklen på den cirkelbåge som är 10 60 grader, så den randvinkeln blir 30 grader.
AndersW skrev :Jag tror du har lurats lite av hur GeoGebra mäter vinklar. När punkten B befinner sig på samma halvcirkel som både A och C kommer vinkeln vid B att bli 150 grader. GeoGebra har gett dig den yttre vinkeln till den du söker. Supplementvinkeln till 150 grader är 30 grader och det är ingen slump. Där har du ditt samband, ABC = 180 - AOC/2
Hur kom du fram till att supplementvinkeln är den som sökes?
Har du ritat? Då borde du kunna se det.
Smaragdalena skrev :En vinkel i en triangel kan aldrig vara större än 180 grader - vinkelsumman i en triangel är ju 180 grader (och om en vinkel skulle vara nästan 180 grader blir det inte mycket kvar för de båda andra vinklarna att dela på).
Punkten B kan ju ligga var som helst på cirkeln (utom i punkterna A och C) så den triangeln kan se ut på väldigt många sätt, men om punkten är nånstans på "den lilla tårtbiten mellan A och C" så står ju den vinkeln på den cirkelbåge som har medelpunktsvinkeln 360-60 = 300 grader, så den randvinkeln blir hälften av det, d v s 150 grader. Om punkten är nånstans på "resten av tårtan" så står randvinklen på den cirkelbåge som är 10 grader, så den randvinkeln blir 30 grader. Jag kan se många men inte hur det är relevant till min fråga.
Hur är triangelns vinkelsumma relevant till uppgift nummer två?
Ändrar du inte på den givna medelpunktsvinkeln, det vill säga 60 gradenheter? Det står specifikt 60 gradenheter i den giva uppgiften. [Antar att du bara använde den som ett hjälpmedel för att ta reda på vinkeln. Vinkeln blir densamma hur man än tar reda på den]
10 grader? Det är svårt för mig att hänga med här.
Smaragdalena skrev :Har du ritat? Då borde du kunna se det.
Ja. Det har jag gjort. Men om jag bara får medelpunktsvinkeln 60 grader, varför skulle jag anta att det finns en till lösning förutsatt att jag inte såg på svarsalternativet i facit? Vad exakt angående supplementvinklar är det som gör att man kan dra denna slutsatsen och sedan räkna ut det andra värdet för vinkeln B?
Du har två cirkelbågar mellan A och B. Den ena är den längst ner i dit bild, där medelpunktsvinkeln är 60 grader och randvinkeln för för det B som är markerat högst upp i bilden. Färglägg den bågen röd. Den andra bågen är den som inte är målad - den som har en medelpunktsvinkel som är "resten av varvet" och som hör ihop med det B som kan ligga var som helst på den rödmålade cirkelbågen. Det kanske inte syns att vinkeln vid "nedersta B" är just 150 grader, men visst syns det att den är trubbig?!
Tyvärr klantade jag till en siffra i den andra randvinkeln, jag hade tänkt skriva 60 grader men det blev fel.
Smaragdalena skrev :Du har två cirkelbågar mellan A och B. Den ena är den längst ner i dit bild, där medelpunktsvinkeln är 60 grader och randvinkeln för för det B som är markerat högst upp i bilden. Färglägg den bågen röd. Den andra bågen är den som inte är målad - den som har en medelpunktsvinkel som är "resten av varvet" och som hör ihop med det B som kan ligga var som helst på den rödmålade cirkelbågen. Det kanske inte syns att vinkeln vid "nedersta B" är just 150 grader, men visst syns det att den är trubbig?!
Tyvärr klantade jag till en siffra i den andra randvinkeln, jag hade tänkt skriva 60 grader men det blev fel.
Jo, jag ritade up allt med hjälp av en gradskiva och det stämmer exakt.
