6 svar

95 visningar

dajamanté behöver inte mer hjälp

Medberoende problematik (hos vektorer)

Vi har gått igenom detta definition i linjär algebra kursen, och jag fick två riktigt bra förklaringar från läraren och hans minjoner.

Problemet är att jag fick höra den efter 6 timmars plugg, så att den har glidit på hjärnytan utan att sjunka in i vekorna.

Det gäller vektorer självständighet eller medberoende och hur man löser det med att titta på determinanten.

Jag vet att det har att göra med att determinanten (för koeffmatrisen) är inte lika med noll, ... att systemet är homogen osv... MEN ibland vill jag bara svara att vektorer är oberoende om och bara om de tjänar sina egna pengar!".. det är så pass illa!

Så jag tror jag behöver läsa en gång till hur oberoende och beroende vektorer förhåller sig till determinanten.

Jag skriver vad jag antecknade:

Låt $B = (\overset{⇀}{e_{1}}, \vec{e_{2}})$ :

$\overset{⇀}{U_{B}} = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ och $\overset{⇀}{V_{B}} = (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$ .

När blir $\overset{⇀}{U}, \overset{⇀}{V}$ oberoende?

$x \overset{⇀}{U} + y \overset{⇀}{V} = \overset{⇀}{0} \Leftrightarrow x (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) + y (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

[\Första förrviringsparentes:

Jag vet att det är en definitions fråga här. Men jag tror jag blir först förvirrad av valen av $x$ och $y$ som variabel (som jag förknippar till en vanligt koordinat system) och sedan av uppställning av matrisen. Jag menar att eftersom $a, c$ är $x$ -koordinat av vektorer och $b, d$ representerar $y$ -koordinat, varför skriver vi inte vår matris såhär?

$x (\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}) + y (\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})$

nu stänger vi \]

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a x + c y = 0 b x + d y = 0 \end{cases}$ har bara triviala lösningar om

[\andra förvirringsparentes:

Jag vet att det är återigen definitions fråga, att triviala lösningar betyder att alla koefficienter är noll, men ... varför säger man inte enskilda lösningar?

vi stänger igen hjärngröt zonen \]

... $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}|$ är skilt från noll.

[\tredje förvirringsparentes:

här har jag även ritat en parallelogram och antecknat att när en determinant är skilt från noll de finns det två vektorer som spänner ut plannet.... så där är jag typ överens med mig själv... Men då finns det även prydligt antecknat $|\begin{matrix} A^{T} \end{matrix}| = |\begin{matrix} A^{} \end{matrix}|$ och jag har ingen aning med vad läraren menade med det, och vad transponat har med saken att göra

slut inre kaos\]

Orkar någon förklara det en gång till, så att jag får en bättre överblick och kanske även intuition för varför detta är logisk och snyggt?

Vektorerna $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n$ kallas linjärt beroende om det finns reella tal $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$ som inte alla är 0 så att

$\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n=0$

Det betyder att vi på något sätt ska kunna kombinera de olika vektorerna och få summan noll. De ska ta ut varandra på något sätt. Men vi får inte välja att ta 0 av varje vektor (det blir ju alltid 0). Att ta 0 av varje vektor är att vara banalt trivial. Därför kallas en sådan lösning trivial.

I de fall antalet vektorer är lika med antalet dimensioner får vi ett kvadratiskt ekvationssystem. För kvadratiska ekvationssystem gäller

Detta är en nyttig matris att ha i huvudet. Vi är nu intresserade av homogena system (=0). Från diagrammet (som vi kan utantill) förstår vi att $\det A \neq 0$ är ett villkor för linjärt oberoende. Då har systemet endast triviala lösningar $\lambda_1=\lambda_2=...=\lambda_n=0$ .

Din sista fråga gäller en känd sats som jag hoppas att ni bevisar i er bok, nämligen

$\det\, A^t=\det\, A$

Beroende på hur du ställer upp din vektorekvation kan det vara bekvämt att använda den regeln.

Och nu till ett exempel:

Är vektorerna är linjärt oberoende eller linjärt beroende? Frågan är samma sak som att studera om det finns icke-triviala lösningar till ekvationen

$\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+\lambda_3\mathbf{v}_3=0$

men studerar vi determinanten ser vi

Alltså har det homogena systemet oändligt många lösningar som är icke-triviala. Vektorerna $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$ är linjärt beroende!

Tack för det Guggle! Och speciellt den fint färgglad diagram. Det borde jag (nästan) tatuera på kycklingarmen (=gäddhäng?).

Varför behöver vi bry oss om $detA=detA^{t}$ i frågan om beroende/oberoende?

Hej!

De två vektorerna $u$ och $v$ är linjärt oberoende om det är omöjligt att uttrycka $u$ som en linjärkombination av $v$ ; med andra ord, linjärkombinationen $\lambda_{1}u+\lambda_{2}v$ är lika med nollvektorn endast om koefficienterna $\lambda_1$ och $\lambda_2$ båda är lika med talet noll.

Det betyder att ekvationssystemet

Error converting from LaTeX to MathML

har den enda lösningen

$\begin{pmatrix}\lambda_{1}\\\lambda_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}.$

Detta inträffar precis då koefficientmatrisen

$A = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$

är inverterbar. Den kvadratiska matrisen $A$ är inverterbar precis då dess determinant inte är lika med talet noll, $\det A \neq 0.$

Albiki

Din ekvationsystem har försvunnit. Var det:

$\{\begin{cases} a \vec{u} + c \vec{v} = 0 \\ b \vec{u} + d \vec{v} = 0 \end{cases}$

Varifrån dyker upp dessa koefficienterna?

dajamanté skrev :
Tack för det Guggle! Och speciellt den fint färgglad diagram. Det borde jag (nästan) tatuera på kycklingarmen (=gäddhäng?).
Varför behöver vi bry oss om $detA=detA^{t}$ i frågan om beroende/oberoende?

Det är användbart (bland annat i denna fråga av dajaminanten).

Exakt varför din minjon tog upp saken är oklart, men kanske hade du följande invändning

Daja typ: "erhm, vi har juh fått determinanten"

$\begin{vmatrix}a &b \\ c & d\end{vmatrix}$

Daja typ: Men determinanten vi BORDE intressera oss för är

$\begin{vmatrix}a &c \\b & d\end{vmatrix}$

Daja (upprörd): "Och jaa, det är ju inte samma sak!??"

Minjonen: "Det är samma sak eftersom det A = det A'"

Du (och minjonen) menar nu $detA = detA^{T}$ eller $detA=detA^{-1}$ ? (Innan jag öppnar en ny förrviringsparentes?)

PS: den andra fråga har jag inte löst heller 😭!

Svara

Visa senaste svar