Maxvärde av kvadratisk form

Det måste vara fel i uppgiften (eller så förväntas man använda sig av digitala verktyg till att lösa karakteristiska ekvationen).

Kvadratiska formens maximivärde på enhetssfären = största egenvärdet av den symmetriska matris som representerar formen. Och formens minimivärde = minsta egenvärdet.

Det beror på att kvadratiska formen kan skrivas om som $\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$ där $(y_1, y_2, y_3)$ är vektorns koordinater i den kanoniska ON-basen (som består av egenvektorer). Enhetssfärens ekvation i denna ON-bas blir $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = 1$. Därmed

$\lambda_{\text{min}} \underbrace{(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)}_{=1} \le \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 \le \lambda_{\text{max}} \underbrace{(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)}_{=1}$

Den karakteristiska ekvationen du fått är ok. Den har tre reella rötter som inte är rationella, så rötterna kan inte uttryckas m.h.a. en "kort" formel. (Det finns Cardanos formel, men den är rätt invecklad och dessutom innehåller den kubikrötter ur komplexa tal...) Maximivärdet kan alltså inte uttryckas på något snällt sätt. Maximivärdet är approximativt 5.124

Vad säger facit? Det kanske går att spåra vad som gått snett i uppgiftens frågeställning.

LuMa07 skrev:

Det måste vara fel i uppgiften (eller så förväntas man använda sig av digitala verktyg till att lösa karakteristiska ekvationen).

Kvadratiska formens maximivärde på enhetssfären = största egenvärdet av den symmetriska matris som representerar formen. Och formens minimivärde = minsta egenvärdet.

Det beror på att kvadratiska formen kan skrivas om som $\lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$ där $(y_1, y_2, y_3)$ är vektorns koordinater i den kanoniska ON-basen (som består av egenvektorer). Enhetssfärens ekvation i denna ON-bas blir $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = 1$. Därmed

$\lambda_{\text{min}} \underbrace{(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)}_{=1} \le \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 \le \lambda_{\text{max}} \underbrace{(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2)}_{=1}$

 

Den karakteristiska ekvationen du fått är ok. Den har tre reella rötter som inte är rationella, så rötterna kan inte uttryckas m.h.a. en "kort" formel. (Det finns Cardanos formel, men den är rätt invecklad och dessutom innehåller den kubikrötter ur komplexa tal...) Maximivärdet kan alltså inte uttryckas på något snällt sätt. Maximivärdet är approximativt 5.124

Vad säger facit? Det kanske går att spåra vad som gått snett i uppgiftens frågeställning.

Facit säger max värde = 4 & min = -2...🥴

Samma metod fungerade dock på resterande uppgifter så jag antar de har angivit fel kvadratisk form?

Tack för hjälpen!

Ja, den kvadratiska formen ska då vara "dubbelroten"

$f(x)=3x^2_2+3x^2_3+4x_1x_2+4x_1x_3-2x_2x_3$