Maximum Likelihood Skattning

Hej,

En stokastisk variabel har fördelningsfunktion

$F (x) = x^{a}, 0 \leq x \leq 1$

där $a > 0$ .

Man gör 10 oberoende observationer av variabeln och erhåller

$0.57 0.81 0.63 0.44 0.31 0.91 0.36 0.65 0.74 0.99$ (Summa = 6.41)

ML-skatta a!

Försök till lösning

Täthetsfunktionen ges av

$f (x) = a x^{a - 1}$

Och ML funktionen blir då

$L (a) = \prod_{i = 1}^{10} a x_{i}^{a - 1}$ .

Sedan vet jag inte riktigt hur jag ska fortsätta, har testat två olika "vägar", en av dem är att gå jobba med logaritmlikelihoodfunktionen

$l (a) = \ln (L (a)) = \ln (\prod_{i = 1}^{10} a x_{i}^{a - 1}) = 10 \ln (a) + (a - 1) {\ln (\sum x_{i}}_{i = 1}^{10})$

och sedan derivera. Men då utnyttjar jag inte observationsvärdena eller att summan av dem blir 6.41. Något förslag på hur jag ska fortsätta? Tack

Vad menar du med att du inte utnyttjar observationsvärdena? Observationsvärdena är det du skrivit som x_i

parveln skrev:
Vad menar du med att du inte utnyttjar observationsvärdena? Observationsvärdena är det du skrivit som x_i

Juste, jag blandade ihop funktionsvärdet $f (x)$ med observationsvärdet $x$ därav

min kommentar. Jag vet inte hur jag ska fortsätta eftersom derivatan

$l' (a) = 10 / a + \ln (6.41)$

inte kan bli noll om $a > 0$ .

Kolla derivatan en gång till.
(EDIT Jag menade kolla log-likelihood-funktionen!)
Borde det inte stå summa log av observationsvärdena?

Arktos skrev:
Kolla derivatan en gång till.
Borde det inte stå summa log av observationsvärdena?

Juste, gjorde istället tvärtom. Det ska alltså bli

$l (a) = 10 \ln (a) + (a - 1) \sum_{i = 1}^{n} \ln (x_{i})$
och derivatan blir då

$l' (a) = 10 / a + \sum_{i}^{n} \ln (x_{i})$ .

Räknade även ut summan av log av observationerna (den sista termen) som summerades till -5.0849.

Då får vi att derivatan är noll när a är lika med 1.9665, vilket överensstämmer med svaret i facit.

Tackar för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar