Maximum a posteriori estimation (MAP), intuition

Hej, har lite svårt att förstå MAP.

Min förståelse för MLE är givet att vi har data från en speciel distribuiton som vi vet exakt sånär som på ett parametervärde, så vill vi beräkna det parametervärde som gör det observerade utfallet så sannolikt som möjligt.

Jag förstår även att givet definitionen av betingade fördelningar: $f_{X|Y}\left(x\right|y)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y\left(y\right)}$

Kan man lätt skriva om det till:

$f_{Y|X}\left(y\right|x)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{f_{Y,X}(y,x)}{f_X\left(x\right)}=\{f_{Y,X}(y,x)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{f}_{X|Y}\left(x\right|y\left)f_Y\right(y\left)\right\} =\hspace{0.17em}\frac{f_{X|Y}\left(x\right|y\left)f_Y\right(y)}{f_X\left(x\right)}$

Om vi antar att x = (x_1,...,x_n) är data från en fördelning med en parameter y, då ska man i MAP beräkna:

$y_{MAP}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}arg ma{x}_y\left(\frac{f_{X|Y}\left(x\right|y\left)f_Y\right(y)}{f_X\left(x\right)}\right)$

Men från här och framåt förstår jag inte riktigt.

1. Jag förstår inte logiken varför vi ska maximera, jag vet att vi kan exkludera nämnaren då den inte innehåller y, jag tycker fortfarande det är logiskt att maximera likelihood-funktionen som är en del i täljaren men varför letar vi max i uttrycket f_Y(y) och vad säger produkten oss egentligen?

2. Kan jag använda parametervärdet y_MAP precis som om det vore genererat från momentmetoden, least square eller MLE eller säger det något annat? Jag förstår såklart att bakgrunden till hur vi fick fram y_MAP är annorlunda men när jag använde MM, LSQ och MLE så var det hela tiden för att härleda ett utryck för estimatorn till den givna fördelningen, där jag sen givet utfallet på ett slumpmässigt stickprov fick ett estimerat värde för en eller flera parametrar vilka sedan hjälpte mig bestämma den exakta (estimerade) fördelningen, fungerar det annorlunda här?

Tack på förhand!