Maximi-, minimi-, och terrasspunkt, hur räknar man ut.

Du är på god väg. Läs denna sida och de efterföljande:

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/vaxande-och-avtagande-funktion#!/

Det är viktigt att förstå varför en positivt värde på andraderivatan i en extrempunkt innebär att punkten är minpunkt. Det förklaras i länken men en alternativ förklaring:
Tänk dig att en kurva går nedåt. Lutning/Derivatan är alltså negativ. Ok?
När kurvan närmar sig en minpunkt lutar den allt mindre nedåt, lutningen är fortfarande negativ men beloppet är mindre. Gör en skiss om det inte känns självklart.
När kurvan kommer fram till minpunkten är ju lutningen/derivatan 0 (tangenten är horisontell), eller hur?
När kurvan sen går uppåt är lutningen/derivatan positiv.
Alltså: före minpunkten är derivatan negativ, i minpunkten är den 0, och efter minpunkten är den  positiv. Du kan ta reda på om en punkt är en min-, max- eller terasspunkt med teckenstudium. Det är bra att kunna!
Om man istället använder andraderivatan: Andraderivatan är derivatans förändring, dvs lutningens förändring.
Eftersom lutning i exemplet med minpunkten först var negativ, sen mindre negativ, sen 0, sen positiv, sen mer positiv så ser du att derivatan hela tiden ökade. Förändringen var alltså positiv, dvs andraderivatan är positiv i en minpunkt.

En animering av tangenten längs grafen, lutningen på tangenten är derivatan:

https://www.desmos.com/calculator/jlcyk2gya3

Tryck på "play"-knappen på rad 5 ute till vänster där det står "c=..."

hej jag har gått in på länken och läst men förstår fortfarande inte, saknar jag inte en punkt då jag redan har två? och vad kallas dom två punkterna jag har löst

Du har hittat de två stationära punkterna. Sen har du börjat undersöka om de är min-, max- eller terasspunkter.
Du har beräknat andraderivatan i de stationära punkterna (bra) men  det verkar som att du inte vet hur du ska tolka värdena du fått fram.

Jag skrev ovan en ganska detaljerad beskrivning angående en minpunkt. Tanken är att du ska förstå vad derivata och andraderivata innebär när man undersöker en funktion/kurva. Förståelsen är det viktiga, då blir räknandet enkelt.
Försök att följa det jag skrev. Se till att du förstår varje mening innan du läser vidare och berätta sen var du fastnar.

EDIT: Jag skrev felaktigt "extrempunkter" när jag menade "stationära punkter". Min-, max- och terasspunkter är alla stationära punkter men endast min- och max-punkter är extrempunkter. (Tack Yngve). Jag rättar i alla inlägg som går att redigera.

Okej jag förstår lite bättre nu, punkten (1,-1) är min minimipunkt jag såg i grafen att det är där lutningen blir horisontell alltså 0 när kurvan kommer fram. det jag fastnar på är:

f '' (0) = 36*0^2-24*0 = 0.  jag förstår nog inte om 0 definieras som ett positivt eller negativt tal eller något helt annat.

sen har jag ju redan två punkter klara men såg i grafen att jag behöver en till punkt hur kommer jag fram till den?

Bra!

Det finns bara två stationär punkter för denna funktion, de du hittat. Vilken menar du att du saknar (alla typer av stationär punkter finns inte i alla funktioner).

När andraderivatan är 0 kan vi inte veta vilken slags stationär punkt det är. Då gör men en teckentabell. Man gör en kolumn för varje nollställe och skriver in tecknet på derivatan före och efter punkterna:

(EDIT: Skrev "maxpunkt" när jag menade minpunkt, sorry!)

Sen skriver man in hur funktionen beter sig runt och på de stationära punkterna.
Eftersom derivatan är negativ före och efter x=0 är det en terasspunkt.
Eftersom derivatan är negativ före men positiv efter x=1 är det en minpunkt (med det visste du redan tack vara andraderivatan).

Okej nu förstår jag mycket bättre tack!! så det finns ingen maximipunkt utan istället är x=0 en terrasspunkt? det jag mena med att en punkt saknas det är eftersom vi har punkten (1,-1) och (0,0) sedan finns det en punkt där linjen skär i x-axeln (1.3,0)? är det inget jag behöver bry mig om? och hur får man fram kurvan i grafen eller hur kommer jag vidare i problemet?

Exakt, det finns ingen maxpunkt. Att linjen skär x-axeln har ingen speciellt betydelse.
Du har nu alla stationära punkter och vet vilken sort det är. Återstår att rita grafen.

För att rita en graf, läs den här sidan noga:
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/derivatan-och-grafen/skissa-grafer#!/

Du vet vilka stationära punkter du har, sätt ut dem som prickar i diagrammet.
Du vet om det är en min-, max- eller terasspunkt. Dra en kort streck som antyder riktningen vid varje punkt, dvs ett kort horisontellt streck genom terasspunkten (0, 0) och en svagt "glad mun" genom minpunkten (1, -1).
Du vet att derivatan för x<0 var negativ, dvs grafen kommer uppifrån och planar ut mot (0,0). Skissa det.
Du vet derivaten i intervallet 0<x<1 är negativ. Förbind den horisontella början vid (0,0) men en mjuk linje som faller ned mot (1,-1) men planar ut innan (i en stationär punkt är ju derivatan 0, dvs tangenten är horisontell).
Du vet att derivatan är >0 då x>1, dvs grafen drar iväg uppåt efter x=1.

För att hamna rätt i båda ändarna är det bra att först beräkna y-värden utanför de stationära punkterna, t ex för x=-0,5 och x=1,5. Blir det y-värden utanför diagrammet provar med ett värde lite närmare. Sätt ut de punkterna också. Sen kan du rita kurvan genom att förbinda alla punkter och små streck.

Testa att följa detta!

EDIT: Jag använde "extrempunkt" när jag menade stationär punkt. Min-, max- och terasspunkter är alla stationära punkter men endast min- och max-punkter är extrempunkter.

Tack för hjälpen nu är frågan löst!

Toppen. När du gjort teckentabeller runt 0-ställena på några uppgifter kommer du att få en bra känsla för hur grafen ser ut.