Maximi, minimi och terasspunkter mha derivata
Jag har lite problem att lösa den här.
f(x)=2x^3+3x^2+1
f'(x)=6x^2+6x=0
Såhär långt är jag med, och jag ser också på den deriverade funktionen att grafen har en minimipunkt.
Jag undrar hur man kan bestämma den punkten mer exakt, men minns inte riktigt hur man gjorde.
Där kurvan f(x) har en minpunkt (eller max, eller terass) är lutningen noll. Derivatan f'(x) beskriver just lutningen av f(x), så du kan hitta dessa punkters x-värden genom att lösa ekvationen f'(x) = 0. Den ekvationen motsvarar alltså frågan "vid vilka x-värden är lutningen på kurvan f(x) noll?".
Och den ekvationen har du ju redan ställt upp! Vad får du om du löser den?
Du har tagit fram derivatan, och även satt den till 0. Vilka värden på x uppfyller det villkoret?
Skaft skrev:Där kurvan f(x) har en minpunkt (eller max, eller terass) är lutningen noll. Derivatan f'(x) beskriver just lutningen av f(x), så du kan hitta dessa punkters x-värden genom att lösa ekvationen f'(x) = 0. Den ekvationen motsvarar alltså frågan "vid vilka x-värden är lutningen på kurvan f(x) noll?".
Och den ekvationen har du ju redan ställt upp! Vad får du om du löser den?
Om jag först delar funktionen med 6 så får jag bara x^2+x=0 kvar.
Om jag ska ställa upp det med pq-formeln borde det bli x=0,5+-roten ur 0,5^2
Så svaret blir 1 om jag inte har fel?
Vad hände med teckenbytet?
Visa spoiler
Ett tips (även om pq-formeln alltid funkar) är att när konstanttermen saknas, som i det här fallet, kan du bryta ut x och använda nollproduktmetoden istället:
Någon av faktorerna måste vara noll, så x kan vara antingen 0 eller -1.
Oavsett så får du två nollställen. Kurvans lutning är alltså noll på två ställen. Men vi vet inte än vilken sorts extrempunkter dessa är: minpunkt, maxpunkt, terasspunkt... Det finns olika sätt att avgöra deras karaktär. Ett sätt är via andraderivatan, ett annat är via en teckentabell.
Skaft skrev:Vad hände med teckenbytet?
Visa spoiler
Ett tips (även om pq-formeln alltid funkar) är att när konstanttermen saknas, som i det här fallet, kan du bryta ut x och använda nollproduktmetoden istället:
Någon av faktorerna måste vara noll, så x kan vara antingen 0 eller -1.
Oavsett så får du två nollställen. Kurvans lutning är alltså noll på två ställen. Men vi vet inte än vilken sorts extrempunkter dessa är: minpunkt, maxpunkt, terasspunkt... Det finns olika sätt att avgöra deras karaktär. Ett sätt är via andraderivatan, ett annat är via en teckentabell.
Tack för hjälpen!
Det finns ett annat sätt att hitta derivatans nollställen i detta fall.
Om man utgår från f'(x)=6x^2+6x=0 och bryter ut 6x, så får man f'(x)=6x(x+1)=0.
f'(x) blir noll om termen utanför parentesen =0, eller om uttrycket inom parentesen =0.
Sten skrev:Det finns ett annat sätt att hitta derivatans nollställen i detta fall.
Om man utgår från f'(x)=6x^2+6x=0 och bryter ut 6x, så får man f'(x)=6x(x+1)=0.
f'(x) blir noll om termen utanför parentesen =0, eller om uttrycket inom parentesen =0.
Tack :)
