Maximering av volym för en kon baserat på dess hypotenusa

Hej! Har en uppgift som lyder: En kons hypotenusa är $\sqrt{3}$ meter. Bestäm dess höjd och basradie så att volymen blir så stor som möjligt.

Tänker mig att en kon består av trianglar som roterar runt dess centrum. Om jag kan maximera en av dessa trianglars area, bör jag också då kunna använda samma värden för att maximera konens volym.

$r^{2} + h^{2} = \sqrt{3} \to r = \sqrt{3 - h^{2}}$

Totala basen för konen blir då:

$2 r = 2 \sqrt{3 - h^{2}}$

Formeln för triangelns area blir:

$A (x) = \frac{2 \sqrt{3 - h^{2}} (h)}{2} = h \sqrt{3 - h^{2}}$
Maximering av area innebär att:

$A' (x) = \frac{d}{d h} (h \sqrt{3 - h^{2}}) = \frac{- 2 h^{2} + 3}{\sqrt{- h^{2} + 3}} = 0 \to h = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Stoppar jag in detta värde för höjden i ovanstående formel för radien, blir $r = \sqrt{\frac{3}{2}}$

Boken anser dock att höjden ska vara 1 meter, och radien $\sqrt{2}$ .

Vart är det jag går fel?

Felet är att du tillämpar 2D geometri på ett 3D problem. För vissa 3D-kroppar finns det en ”dominerande” sida som påverkar volymen mest, det är inte fallet i 2D. Tag som exempel en rektangel med höjden h och basen r där h>r.

De två rektanglarna har lika stor yta (det finns ingen dominerande sida) men beroende på orientering har en av cylindrarna störst volym, den högra.

Teckna ist volymen för en kon och du kommer få rätt svar.

Ett annat sätt att tänka är att volymen av en kon beror av h och r², medan arean av en triangel beror av h och r. Alltså vad Trinity2 sade om en dominerande sida som påverkar volymen mest.

Svara