Maximera volymen

Jag började med att döpa bassidorna till x och höjden till a. Jag räknade ut volymen och fick den till $V = a x^{2}$ och begränsningsarean $x^{2} + 4 a x = 36$ . Vet inte riktigt hur jag ska gå vidare.

Du behöver uttrycka a i x så du kan sätta upp en funktion av volymen V(x) för att sedan maximera denna

Engineering skrev:
Du behöver uttrycka a i x så du kan sätta upp en funktion av volymen V(x) för att sedan maximera denna

Jag förstår inte riktigt hur du menar. När du säger a menar du a som i höjden eller arean?

accebeR skrev:
Engineering skrev:
Du behöver uttrycka a i x så du kan sätta upp en funktion av volymen V(x) för att sedan maximera denna
Jag förstår inte riktigt hur du menar. När du säger a menar du a som i höjden eller arean?

a som i höjden, du har två uttryck du tagit fram så du kan bryta ut a i uttrycket för arean och sätta im det i formeln för volymen

Engineering skrev:
accebeR skrev:
Engineering skrev:
Du behöver uttrycka a i x så du kan sätta upp en funktion av volymen V(x) för att sedan maximera denna
Jag förstår inte riktigt hur du menar. När du säger a menar du a som i höjden eller arean?
a som i höjden, du har två uttryck du tagit fram så du kan bryta ut a i uttrycket för arean och sätta im det i formeln för volymen

Okej, har jag brutit ut a korrekt om jag får $a (x) = \frac{36 - x^{2}}{4 x}$ ?

Ja det är korrekt, vet du hur du ska fortsätta sen?

Nej, inte riktigt. Jag provade att sätta in funktionen för a i funktionen för volymen men jag vet inte om jag är på rätt spår..?

$V = x^{2} \times \frac{36 - x^{2}}{4 x} V = \frac{x^{2} (36 - x^{2)}}{4 x} V = \frac{36 x^{2} - x^{4}}{4 x} V = \frac{x (36 x - x^{3})}{4 x} V = \frac{36 x - x^{3}}{4}$

accebeR skrev:
Nej, inte riktigt. Jag provade att sätta in funktionen för a i funktionen för volymen men jag vet inte om jag är på rätt spår..?
$V = x^{2} \times \frac{36 - x^{2}}{4 x} V = \frac{x^{2} (36 - x^{2)}}{4 x} V = \frac{36 x^{2} - x^{4}}{4 x} V = \frac{x (36 x - x^{3})}{4 x} V = \frac{36 x - x^{3}}{4}$

Det ser rätt ut, om du ritar upp den funktionen så kommer du få en maximipunkt eller liknande någonstans. Om du deriverar funktionen och tter lika med noll så kan du lösa ut var du har ett max

Engineering skrev:
accebeR skrev:
Nej, inte riktigt. Jag provade att sätta in funktionen för a i funktionen för volymen men jag vet inte om jag är på rätt spår..?
$V = x^{2} \times \frac{36 - x^{2}}{4 x} V = \frac{x^{2} (36 - x^{2)}}{4 x} V = \frac{36 x^{2} - x^{4}}{4 x} V = \frac{x (36 x - x^{3})}{4 x} V = \frac{36 x - x^{3}}{4}$
Det ser rätt ut, om du ritar upp den funktionen så kommer du få en maximipunkt eller liknande någonstans. Om du deriverar funktionen och tter lika med noll så kan du lösa ut var du har ett max

$\frac{36 - 3 x^{2}}{4} = 0 - \frac{3 x^{2}}{4} + 9 = 0 \frac{3 x^{2}}{4} = 9 3 x^{2} = 36 x^{2} = 12 x = \sqrt{12}$

Roten ur 12 är ett väldigt ojämnt tal så jag tänker att det är bäst att behålla det exakt. För att få fram höjden a antar jag att jag ska sätta in x= $\sqrt{12}$ i funktionen för a, dvs

$a (x) = \frac{36 - x^{2}}{4 x} a (\sqrt{12}) = \frac{36 - {\sqrt{12}}^{2}}{4 \times \sqrt{12}} a (\sqrt{12}) = \frac{36 - \sqrt{12}}{4} a (x) \approx 35$

Den maximala volymen fås om sidorna är $\sqrt{12} o c h \frac{36 - \sqrt{12}}{4}$

Är det rätt?

Nästan, när du räknar ut a(sqrt12) så gör dubfel när du förkortar bort sqrt12 ur nämnaren. Annars ser det bra ut

Engineering skrev:
Nästan, när du räknar ut a(sqrt12) så gör dubfel när du förkortar bort sqrt12 ur nämnaren. Annars ser det bra ut

Jag tänkte att $\frac{36 - {\sqrt{12}}^{2}}{4 \times \sqrt{12}} = \frac{36 - \sqrt{12} \times \sqrt{12}}{4 \times \sqrt{12}}$ och att de därför tar ut varandra. Stämmer inte det?

Blir det såhär istället då? $\frac{36 - 12}{4 \times \sqrt{12}} = \frac{24}{4 \times \sqrt{12}}$

accebeR skrev:
Engineering skrev:
Nästan, när du räknar ut a(sqrt12) så gör dubfel när du förkortar bort sqrt12 ur nämnaren. Annars ser det bra ut
Jag tänkte att $\frac{36 - {\sqrt{12}}^{2}}{4 \times \sqrt{12}} = \frac{36 - \sqrt{12} \times \sqrt{12}}{4 \times \sqrt{12}}$ och att de därför tar ut varandra. Stämmer inte det?
Blir det såhär istället då? $\frac{36 - 12}{4 \times \sqrt{12}} = \frac{24}{4 \times \sqrt{12}}$

Ditt andra förslag är korrekt, det du gjorde fel var att 36 också ska delas med sqrt12 och därför kan du inte förkorta bort som du gjorde

Okej då förstår jag! Jag förenklade vidare så att jag tillslut fick att $a = \frac{6}{\sqrt{12}}$ så nu har jag äntligen kommit fram till rätt svar.

Tack så jättemycket för all hjälp! Det är verkligen guld värt :)

Svara

Visa senaste svar