Maximera funktion med en specifik restriktion med hjälp av Lagrange multiplikator

Hej!

Har fastnat på denna uppgift: 

Mitt tänkesätt:

Jag tror att syftet med uppgiften är att hitta maximumpunkten som bildas när en av nivåkurvorna av restriktionen g(x, y) tangerar en nivåkurva av f(x, y).

$f(x, y) = x^3{y}^5, g(x, y) = x + y$

$\nabla f(x, y) = \lambda \times \nabla g(x, y)$

$<3x^2{y}^5\hat{i}, 5x^3{y}^4\hat{j}> = \lambda \times <\hat{i}, \hat{j}>$

X- och y-komponenterna i båda leden, måste vara ekvivalent. Detta ger sålunda ekvationssystemet

$$\begin{gathered} 3x^2{y}^5 = \lambda \left(1\right) \\ 5x^3{y}^4 = \lambda \left(2\right) \end{gathered}$$

Nu tänkte jag att man försöker isolera x och y för att sedan sätta in deras värden i restriktionen $g(x, y) = 8$ med syftet att finna $\lambda$, men detta blir svårt. Genom jobbig algebra fick jag fram att $y = \sqrt[7]{\frac{25{\lambda }^3}{243}}$och $x=\pm \sqrt{\frac{\lambda }{3\times \sqrt[7]{{\displaystyle \frac{25{\lambda }^3}{243}}}}}$

Då y:s och x:s värde ser väldigt komplicerade ut, känns det fel.