Maximalt antal fiskar

Tycker den var lite lurig. Men om man maximerar högerledet får man ett värde.

$$\begin{gathered} Sätt x=a_{n-1} \\ f\left(x\right)=1,1x-\frac{x^2}{45000}= \\ -\frac{1}{45000}(x^2-1,1*45000x)=-\frac{1}{45000}(x^2-49500x) \\ -\frac{1}{45000}{(x-24750)}^2+\frac{{24750}^2}{45000}\le \frac{{24750}^2}{45000}=13612,5 \end{gathered}$$

Men eftersom det kan bara vara ett helt antalet fiskar får man väl säga 13612

Men jag vet inte om det är det man är ute efter. Man ser också att om antalet fiskar är > 4500 kommer det vara färre året därpå.

facit säger att antalet fiskar kan vara max 4500. Jag fattar inte hur man har kommit fram till det.

Det är en förenkling. Men då tänker man helt enkelt att om antalet är större än 4500 så blir det färre året därpå.

$$\begin{gathered} Antag a_{n-1}>4500. \\ Då blir a_n=a_{n-1}+0,1*a_{n-1}(1-a_{n-1}/4500)<a_{n-1} \end{gathered}$$

Hej!

För det första så ser du att $a_0>0$, så $a_0$ är positiv. Sen gäller rekursionen $a_n=a_{n-1}+0.1a_n\left(1-\frac{a_{n-1}}{4500}\right)$. Vi ser att $a_n\geq a_{n-1}$ så länge termen $1-\frac{a_{n-1}}{4500}\geq 0$. Men så fort du får att $a_{n}=4500$ så ger det att din nästa term är $a_{n+1}=4500+0.1\cdot 4500\left(1-\frac{4500}{4500}\right)=4500+0=4500$. Sen kommer du att vara fast där eftersom det inte går att minska mängden fisk i dammen.

Det förutsätter dock att du faktiskt kan få $4500$ fiskar, annars skulle det kunna hända att andra termen blir negativ och antalet fisk kan minska. Det tänker jag inte ge mig på att försöka visa, jag är inte tillräckligt påläst vad gäller rekursion. 

Moffen skrev:

Hej!

För det första så ser du att $a_0>0$, så $a_0$ är positiv. Sen gäller rekursionen $a_n=a_{n-1}+0.1a_n\left(1-\frac{a_{n-1}}{4500}\right)$. Vi ser att $a_n\geq a_{n-1}$ så länge termen $1-\frac{a_{n-1}}{4500}\geq 0$. Men så fort du får att $a_{n}=4500$ så ger det att din nästa term är $a_{n+1}=4500+0.1\cdot 4500\left(1-\frac{4500}{4500}\right)=4500+0=4500$. Sen kommer du att vara fast där eftersom det inte går att minska mängden fisk i dammen.

Det förutsätter dock att du faktiskt kan få $4500$ fiskar, annars skulle det kunna hända att andra termen blir negativ och antalet fisk kan minska. Det tänker jag inte ge mig på att försöka visa, jag är inte tillräckligt påläst vad gäller rekursion. 

Aha, tack!

Om man undersöker funktionen $f\left(x\right)=0.1x\left(1-\frac{x}{4500}\right)$ så ser vi dock att den antar värden som är mindre än $1$ runt $x\approx 4491$. Om vi antar att vi åtminstone inte kan ha bråkdelar av fiskar, så bör vi någon gång, dvs. för $n\geq N$ där $N$ väljs lämpligt sådant att $a_N>4491$, kunna krypa oss fram till $4500$ fiskar.

Låter det rimligt?

Om man tänker att man har 4500-y fiskar. Då blir antalet fiskar nästa år

$$\begin{gathered} 4500-y+0,1(4500-y)(1-\frac{4500-y}{4500})=4500-y+0,1y+\frac{0,1y^2}{4500}= \\ 4500-0,9y+\frac{0,1y^2}{4500}=f\left(y\right) \\ f\text{'}\left(y\right)=-0,9+\frac{2y}{45000}=\frac{y-22500*0,9}{22500}=\frac{y-20250}{22500} \end{gathered}$$ 

Så f(y) är avtagande om y<=20250

Dvs maximalt antal fiskar är 4500.

Men det hade inte behövt vara så. Om rekursionsformeln hade varit annorlunda, tex

$a_n=a_{n-1}+1,2a_{n-1}(1-\frac{a_{n-1}}{4500})$

Då hade man kunnat komma över 4500.

$$\begin{gathered} Antag a_{n-1}=4000. \\ Då blir a_n=4000+4800(1-4000/4500)=4533 \end{gathered}$$