Maximal Volym (m.h.a lagrangemultiplikator)

Det känns inte spontant som att optimering under algebraiska bivillkor och därmed lagrange-multiplikatormetoden är så relevant eller lämpligt här. Sådana metoder skulle kunnat användas om hela 10x10-arean kunde användas för att konstruera burken men utklippningen här kommer att kommer alltid att lämna lite oanvändbar "spill"-area och då finns det inget "total area ska vara = 100cm2"-bivillkor då arean hos burken alltid kommer att vara mindre än 100cm2 oavsett hur man gör.

Sedan finns det kanske anmärkningar om utförandet av Lagrange-metoden som verkar vara lite icke-standard men även om den skulle vara korrekt utförd så är alltså själva uppställningen inte relevant.

Detta känns istället fullt lösbart med Ma3-optimeringsmetoder.

Flyttar tråden från Matematik/universitet till Ma3, som borde vara tillräckligt för att lösa problemet om man inte krånglar till det i onödan. /moderator 

Tror att det skulle vara ma3-optimering om vi skulle ha haft känd volym eller area. Skulle vara väldigt tacksam för en knuff i rätt riktning.

Är kvadraten tillräckligt stor för att den remsa som blir bredvid cirklarna skall räcka runt hela periferin, om man gör cirklarnas radie så stor som du har gjort?

Nej, absolut inte! Jag finner bara inte sambandet mellan kvadraten och cylinderns mantelarea, ty likställning av dessa två är ajabaja (ingen ekvivalens d.v.s.).

Och genom att lösa ut h från mantelarean för att sedan substituera in i funktionen V för att ta första derivatan av V -> V' och sedan sätta V' = 0 och lösa ut r, som känns som det logiska draget att göra, ger ju helt fel resultat. 

Hur stor radie kan burken ha, om remsan till höger precis räcker runt? Hur hög blir burken i så fall? Då blir det inget spill längs ena sidan, men ganska mycket runt de båda cirklarna.

Det kan hända (jag har inte kollat) om volymen blir större om man låter radien vara mindre och höjden större. Vilket samband gäller för sambandet mellan höjden och radien?

Men åh... Du skall ha ett stort tack! Sätter man $2\pi r=10 , \Rightarrow r=\frac{5}{\pi }$ . Att det skall vara så bökigt ibland.

Tack för att du öppnade mina (tillsynes efterblivna) ögon!

Nu har ju Kaffetskonstant inte visat vilken "maximal volym" hen kom fram till.
Men eftersom hen skriver $r=\frac{5}{\mathrm{\pi }}$så antar jag att hen tänker sig dela plåten så här:
En något större volym får man om man delar plåten så här:

EDIT:  Det står fel siffror (1,945) på diametern, det ska vara 3.89

Om man får limma ihop delar av lådan kan man i princip utnyttja hela arean genom att skära loss mycket små rektanglar från plåten så det känns som det inte är tillåtet.

Här får man inte manipulera kvadraten. Radien fås genom sambandet som smaragdalena tipsade om, nämligen att cirkelns omkrets är sidolängden 10 cm, där igenom fås $r=\frac{5}{\pi }$. 

Vidare är ju höjden av cylindern $h = 10-2r\Rightarrow 10-\frac{10}{\pi } = 10(1-\frac{1}{\pi })$

Och det är precis vad som står i bokens facit (endimensionell analys, uppgift: 10.62)

Kaffetskonstant skrev:

Här får man inte manipulera kvadraten. Radien fås genom sambandet som smaragdalena tipsade om, nämligen att cirkelns omkrets är sidolängden 10 cm, där igenom fås $r=\frac{5}{\pi }$. 

 

Vidare är ju höjden av cylindern $h = 10-2r\Rightarrow 10-\frac{10}{\pi } = 10(1-\frac{1}{\pi })$

 

Och det är precis vad som står i bokens facit (endimensionell analys, uppgift: 10.62)

Jag förstår att det är så mattebokens författare vill att uppgiften ska lösas.
Det är ju det uppenbara enkla.
Men tänker man "utanför boxen" så kan man göra på andra sätt. Det finns 
ytterligare ett sätt att dela plåten så att burken blir ännu större:  65,07 ${\mathrm{cm}}^3$

Jag förstår att det är så mattebokens författare vill att uppgiften ska lösas.

Och här har vi förklaringen till  att många uppgifter i främst matte och fysik är så "skitnödigt" skrivna - man måste täppa igen alla tänkbara alternativtolkningar om man vill få fram ett visst svar.

Man hade kunnat skriva i uppgiten att man skall skära till två cirklar och en rektangel ur skivan.

Kaffetskonstant skrev:

Här får man inte manipulera kvadraten. Radien fås genom sambandet som smaragdalena tipsade om, nämligen att cirkelns omkrets är sidolängden 10 cm, där igenom fås $r=\frac{5}{\pi }$. 

 

Vidare är ju höjden av cylindern $h = 10-2r\Rightarrow 10-\frac{10}{\pi } = 10(1-\frac{1}{\pi })$

 

Och det är precis vad som står i bokens facit (endimensionell analys, uppgift: 10.62)

Har du undersökt att man inte kan få en större volym genom att göra radien mindre och höjden större? Om inte, så är du inte klar med uppgiften.

Smaragdalena skrev:

Kaffetskonstant skrev:

Här får man inte manipulera kvadraten. Radien fås genom sambandet som smaragdalena tipsade om, nämligen att cirkelns omkrets är sidolängden 10 cm, där igenom fås $r=\frac{5}{\pi }$. 

 

Vidare är ju höjden av cylindern $h = 10-2r\Rightarrow 10-\frac{10}{\pi } = 10(1-\frac{1}{\pi })$

 

Och det är precis vad som står i bokens facit (endimensionell analys, uppgift: 10.62)

Har du undersökt att man inte kan få en större volym genom att göra radien mindre och höjden större? Om inte, så är du inte klar med uppgiften.

Mindre radie och större höjd leder till mindre volym.
Optimalt är då  höjden = 2 * radien = diametern.

https://www.youtube.com/watch?v=alANoU7rrnU 

Mindre radie och större höjd leder till mindre volym.
Optimalt är då höjden = 2 * radien = diametern.

Jag säger inte emot, men man måste visa det för att göra klart uppgiften.

Jag har ju redan konstaterat att förhållandet mellan radien och höjden är $\frac{h}{r}=2$ , ergo $r=\frac{5}{\pi } , h=10(1-\frac{1}{\mathrm{\pi }})$ ger maximal volym från de givna villkoret som gavs i uppgiften.

Tror bara att jag var inställd på att det skulle vara svårare än vad det egentligen var, vilket i sin tur lede till att fick tunnelseende, och tack åter igen för din hjälp!

Kaffetskonstant skrev:

Jag har ju redan konstaterat att förhållandet mellan radien och höjden är $\frac{h}{r}=2$ , ergo $r=\frac{5}{\pi } , h=10(1-\frac{1}{\mathrm{\pi }})$ ger maximal volym från de givna villkoret som gavs i uppgiften.

 

Tror bara att jag var inställd på att det skulle vara svårare än vad det egentligen var, vilket i sin tur lede till att fick tunnelseende, och tack åter igen för din hjälp!

Både du och facit  har svaret   $r=\frac{5}{\mathrm{\pi }} och h=10(1-\frac{1}{\mathrm{\pi }})$och det är ju rätt

men det ger inte förhållandet   $\frac{h}{r}=2$

Utan förhållandet blir ca  $\frac{h}{r} \approx \frac{6,82}{1,59} \approx 4,29$

I det allmänna fallet, vilket var det jag har beskrivit ovan.

$r=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6\pi }}, h=\frac{\sqrt{2A}}{\sqrt{3\pi }}$ . Ration mellan h och r ger då 2 ty $\frac{h}{r}=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2A}}{\sqrt{3\pi }}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6\pi }}}}=\frac{\sqrt{12\pi A}}{\sqrt{3\pi A}}=2$.

Relationen mellan h och r  för maximal volym är då 2.

Kaffetskonstant skrev:

I det allmänna fallet, vilket var det jag har beskrivit ovan.

 

$r=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6\pi }}, h=\frac{\sqrt{2A}}{\sqrt{3\pi }}$ . Ration mellan h och r ger då 2 ty $\frac{h}{r}=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{2A}}{\sqrt{3\pi }}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{6\pi }}}}=\frac{\sqrt{12\pi A}}{\sqrt{3\pi A}}=2$.

 

Relationen mellan h och r  för maximal volym är då 2.

Det "allmänna fallet" är inte tillräckligt allmänt för att det ska vara relevant för den här uppgiften. Här har vi bivillkor: det hela måste gå att skära ut ur en viss plåtbit.

Ställ upp ett uttryck för volymen (det kanske redan är gjort här ovanför), sätt in h uttryckt i r eller tvärtom och finn maximala värdet för volymen under de villkoren. Vår lösning hittills kommer inte att komma fram på det viset, för där har vi tagit ett värde på randen på området som definierar tillåtna r och h.

Om plåtbiten i den här uppgiften hade haft måtten  10 cm x 16 cm (på höjden) så
hade det gått att skapa en cylindrisk burk med    r=2,5    h=5   omk=15,708   och  h/r=2

Vi har ju att $4\pi r+4\pi rh\le 40$, vilket ger $h\le \frac{10-\pi x}{\pi x}$.

Detta ger $\frac{dV}{dr}=0, då x=\frac{5}{\pi }$

Vidare har vi att $2\pi r^2+2\pi rh\le 100$, substituera r = $\frac{5}{\pi }$, detta ger att $x=h=\frac{10}{\pi }$.

Vidare följer att $(10-2\pi r) = r, samt att: h = (10-2r) \Rightarrow 10(1-\frac{1}{\pi })$ uppfyller dessa villkor. Eftersom sidan av kvadraten är 10 cm.

Kaffetskonstant skrev:

Vi har ju att $4\pi r+4\pi rh\le 40$, vilket ger $h\le \frac{10-\pi x}{\pi x}$.

Detta ger $\frac{dV}{dr}=0, då x=\frac{5}{\pi }$

Vidare har vi att $2\pi r^2+2\pi rh\le 100$, substituera r = $\frac{5}{\pi }$, detta ger att $x=h=\frac{10}{\pi }$.

Vidare följer att $(10-2\pi r) = r, samt att: h = (10-2r) \Rightarrow 10(1-\frac{1}{\pi })$ uppfyller dessa villkor. Eftersom sidan av kvadraten är 10 cm.

Vad vill du visa med detta?

Det är väl klart vad facit säger om uppgiften:    r = 5/Pi = 1.59 (ca)     och   h = 10 - 2r = 6.82 (ca)

Vad menar du med första raden  "Vi har ju att .........."   Vad är det som är mindre eller lika med 40 ?