Maximal volym för roterande triangel

Epersson88 skrev :

I en triangel är två av sidorna 12 cm vardera. Triangeln får rotera kring den tredje sidan. Hur stor kan rotationskroppens volym högst vara? Svara i exakt form.

Jag har placerat in triangeln i ett koordinatsystem, men sin högsta punkt på y-axeln och basen längs med x-axeln. Jag vet också att halva basen (alltså den positiva x-koordinaten) = 12/$\sqrt{3}$.

Nej varför det? Längden på basen måste ju bero på hur stor toppvinkeln är.

Jag tänkte att om jag sätter högsta punkten på y-axeln och så får jag volymen för halva triangelns genom $\left({\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}\right)/3$. r i mitt fall är ju y och $y^2$ får jag till ${12}^2-a^2$ genom pythagoras sats. a är ju i mitt fall även detsamma som h i konens volym, och därför får jag att halva triangelns volym = $\left(\mathrm{\pi }\right({12}^2\mathrm{a}-{\mathrm{a}}^3\left)\right)/3$ och hela triangelns volym blir då $\left(2\mathrm{\pi }\right({12}^2\mathrm{a} - {\mathrm{a}}^3\left)\right)/3$. Derivatan av detta blir $\left(2\mathrm{\pi }\right({12}^2-3{\mathrm{a}}^2\left)\right)/3$ och den är 0 då a = 12/$\sqrt{3}$

Jag tyckte själv att det var ett lite krångligt tillvägagångssätt, men när man inte kommer på något bättre så... :P

Epersson88 skrev :

Jag tänkte att om jag sätter högsta punkten på y-axeln och så får jag volymen för halva triangelns genom $\left({\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}\right)/3$. r i mitt fall är ju y och $y^2$ får jag till ${12}^2-a^2$ genom pythagoras sats. a är ju i mitt fall även detsamma som h i konens volym, och därför får jag att halva triangelns volym = $\left(\mathrm{\pi }\right({12}^2\mathrm{a}-{\mathrm{a}}^3\left)\right)/3$ och hela triangelns volym blir då $\left(2\mathrm{\pi }\right({12}^2\mathrm{a} - {\mathrm{a}}^3\left)\right)/3$. Derivatan av detta blir $\left(2\mathrm{\pi }\right({12}^2-3{\mathrm{a}}^2\left)\right)/3$ och den är 0 då a = 12/$\sqrt{3}$

Jag tyckte själv att det var ett lite krångligt tillvägagångssätt, men när man inte kommer på något bättre så... :P

Jaha nu förstår jag hur du tänkte. Det ser bra ut förutom att du kallar rotationsvolymen för "triangel". Ditt sätt med Pythagoras sats var ännu enklare än mitt sätt med sinus och cosinus.

Vad får du fram för värde på volymen?

Ah, okej, då är jag alltså inte helt ute och cyklar ändå :) 

Ja, problemet är väl att jag inte får fram något riktigt värde på volymen. Eller, jag skulle ju kunna få det genom att knappa in alltihop på räknaren, men eftersom jag ska svara i exakt form hjälper det mig inte så mycket.

Epersson88 skrev :

Ah, okej, då är jag alltså inte helt ute och cyklar ändå :) 

Ja, problemet är väl att jag inte får fram något riktigt värde på volymen. Eller, jag skulle ju kunna få det genom att knappa in alltihop på räknaren, men eftersom jag ska svara i exakt form hjälper det mig inte så mycket.

Men du har ju hittat ett värde på a som ger största volymen (du borde iofs visa att det värdet ger en maxpunkt och inte en minpunkt).

Då är det ju bara att sätta in det värdet i uttrycket för volymen och förenkla.

Det är det jag skulle behöva hjälp med... Jag kommer som sagt bara hit: $\left(2\mathrm{\pi }\right({12}^3/\sqrt{3} - (12/\sqrt{3}{)}^3))/3$

Jag vet inte hur jag ska förenkla det och få fram svaret som facit säger är 256$\mathrm{\pi }\sqrt{3}$

Raderade en felplacerad fråga och ett par svar som påpekade att frågan borde ha en egen tråd. /moderator

Epersson88 skrev :

Det är det jag skulle behöva hjälp med... Jag kommer som sagt bara hit: $\left(2\mathrm{\pi }\right({12}^3/\sqrt{3} - (12/\sqrt{3}{)}^3))/3$

Jag vet inte hur jag ska förenkla det och få fram svaret som facit säger är 256$\mathrm{\pi }\sqrt{3}$

$V=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\left({12}^2-a^2\right)·a$. Med $a=\frac{12}{\sqrt{3}}$ får vi

$V=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\left({12}^2-{\left(\frac{12}{\sqrt{3}}\right)}^2\right)·\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{8\mathrm{\pi }}{\sqrt{3}}\left({12}^2-{\left(\frac{12}{\sqrt{3}}\right)}^2\right)$

$V=\frac{8\mathrm{\pi }}{\sqrt{3}}\left({12}^2-\frac{{12}^2}{3}\right)=\frac{8\mathrm{\pi }}{\sqrt{3}}\left(\frac{2·{12}^2}{3}\right)$

$V=\frac{16\mathrm{\pi }}{\sqrt{3}}\left(4·12\right)=\frac{768\mathrm{\pi }}{\sqrt{3}}=\frac{768\mathrm{\pi }\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=256\mathrm{\pi }\sqrt{3}$

Tack snälla för att du tog dig tid att klara ut det här åt mig! När jag följer dina fina steg så förstår jag precis vad jag gör, men jag kan nog bara konstatera att jag aldrig kommer kunna lösa en sådan här uppgift på egen hand.

Tack igen Yngve, för att du hjälper mig så fort jag stöter på patrull i matteboken! :D