Maximal volym av cylinder i kon

Jodå!

Likformiga trianglar är en bra väg framåt.

Kika på den här bilden:

Jag har gjort om det massor med gånger nu och försöker se något fel men jag grejar det inte. Får svar 1357cm3..

Är det för att jag ska krångla med någon derivata där eller varför blir det fel. Fattar inte. Kollade den andra tråden.

Det du deriverar, är det uttrycket för rektangelns area? Du måste bilda uttrycket för rotationsvolymen och derivera det.

...

Nej,

Jag kan inte. Förstår inte mer helt enkelt. Spelar ingen roll hur mycket jag tänker eller försöker se någon lösning.

Volym cylinder = π(12-x)^2(24-h)

I Facit står det att en ledtråd är att cylinderradien x ger höjden (24-2x). Men jag förstår inte vad dom menar. Hur vet man att höjden på cylindern är 2x, varför är det så osv.

sictransit skrev:

Jodå!

Likformiga trianglar är en bra väg framåt.

Kika på den här bilden:

Visa spoiler

Mer info här: https://www.pluggakuten.se/trad/maximala-volym-7/

Likformighet ger:

$$\begin{gathered} \frac{24}{h}=\frac{12}{12-r} \\ r=12-\frac{h}{2} \end{gathered}$$

Cylinderns volym:

$V_{cyl}={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$

Vi har r uttryckt i h:

$V_{cyl}=\pi {\left(12-\frac{h}{2}\right)}^2\mathrm{h}$

Nu har du cylinders volym enbart uttryckt i h. För att hitta maximum så derivera:

$\frac{d}{dh}\left(\mathrm{\pi }{\left(12-\frac{\mathrm{h}}{2}\right)}^2\mathrm{h}\right)$

Derivatan kommer att ha två nollställen: ett vid cylinderns maxvolym och det andra när cylindern har h=24, r=0 och V=0.

Kommer du vidare?

Jag vet faktiskt inte..

Det blir då 24πh - (2πh^2)/2 = 0

24πh - πh^2 = 0

πh^2 - 24πh = 0

H^2 -24h = 0

H = 12+-✓12 

Får sätta mig med penna och papper sen för det kändes inte rätt.

Återkommer. Fast har inte deriverat något sånt där förut, verkar svårt.

Nej, jag lyckas inte. Fick fram att h = 24 eller h = 0

(24π - πh)h

24πh -πh^2 = 0

Dividera med pi, vet ej om rätt.

24h - h^2 = 0

h(24-h) 

H1 = 24

H2 =0

Uttrycket du skall derivera är: $\frac{\mathrm{\pi }{h}^3}{4}-12\pi h^2+144\pi h$

Derivatan blir: $\frac{3\mathrm{\pi }{h}^2}{4}-...$

Ah, okej.. det skulle utvecklas först..

(3πh^2)/4 - 24πh + 144π = 0

(3πh^2)/4 - 24πh = -144π

3πh^2 - 96πh = -576π

Fortsätt och PQ för att få

H1 = 24

H2 = 8.

Sedan 64π × 8 = ~1608.5

Det verkar stämma, men hade inte kunnat lösa det här själv, hade inte sett rätt samband från början oavsett. Förhoppningsvis lyckades man knyta ihop någon nervtråd i hjärnan i varje fall.

Tack för din ansträngning 👍

Inga problem. Kul uppgift. Jag lärde mig också något och nästa år kommer min äldsta dotter hem med något liknande. 

🙂

Jag är äldre, och har också en dotter. En av mina stora drivkrafter är att försöka bli halvt kompetent på det mesta innan hon når högstadiet/gymnasiet så man kan hjälpa till med så mycket som möjligt.

Särskilt matematik är ju besvärligt för många, men otroligt viktigt att kunna av många anledningar anser jag. Tyvärr ser inte många varför man ska lära sig det när man kanske inte har någon konkret användning av det. Förhoppningsvis kan man få sina barn att tänka annorlunda. Fast det blir som det blir ändå, naturligtvis.

Det är därför jag hänger här. Mina tjejer går i åttan och ettan på natur. Jag har alltid varit intresserad av Ma/NO, men insåg för några år sedan att jag blivit lite rostig. Det jag använder dagligdags är en sak, men mycket har man ju inte sett sedan skoltiden för 30+ år sedan. Det har även skett förändringar. Kan jag hänga här, hjälpa andra och dessutom repetera min matte är det dubbel bonus. 

Ja, ett av de bästa sätten att förankra och fördjupa sin kunskap är ju att hjälpa andra. Lycka till 👍