31 svar
1845 visningar
R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 20:02 Redigerad: 2 dec 2018 20:07

Maximal volym

Hej, jag fastnat i den här frågan

Jag löste a) uppgiften, hoppas det är rätt, men fastnat i b) uppgift, jag är inte säker heller om jag har förstått frågan rätt i b). De frågar efter dimensioner när volymen är i maximal läge, alltså längden, brädden och höjden elle hur? Och jag fattar inte heller vad är en maximal volym.. Jag räknade ut volymen i a) uppgiften, men kan volymen vara större? I vilken fall?

Hoppas jag får svar på alla mina funderingar, jag höll på i flera timmar med hjälp av boken och youtube o mellan tråden här men hittar ej bra svar.

Laguna Online 30482
Postad: 2 dec 2018 20:19

Du ska nog fortsätta anta att botten är kvadratisk, men hitta sidan x och höjden h så att sammanlagda ytan är 216, och volymen är maximal, alltså att du inte kan få en större volym.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 2 dec 2018 20:22

Detta är den mest standardmässiga uppgiften i Ma3. Det kommer att komma en uppgift av den här typen på varje nationellt prov, det vågar jag lova. Detaljerna skiljer, men strukturen är densamma.

Kalla höjden för h. Det gäller fortfarande att de fyra sidoytorna och bottenarean tillsammans har arean 216 kvadratcentimeter.

Skriv en ekvation som visar att de fyra sidoytorna plus bottenarean har arean 216 kvadratcentimeter. Lös ut h. Då har du fått fram ett samband mellan höjden h och bottenytans sida x. Använd det för att skriva ett uttryck för volymen. Derivera det uttrycket, sätt derivatan lika med 0 och beräkna x.

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 20:40

Laguna skrev:

Du ska nog fortsätta anta att botten är kvadratisk, men hitta sidan x och höjden h så att sammanlagda ytan är 216, och volymen är maximal, alltså att du inte kan få en större volym.

 Jag har ju löst ut x värdet, och höjden h har de berättat i frågan att den är 19.. 

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 20:46
Smaragdalena skrev:

Detta är den mest standardmässiga uppgiften i Ma3. Det kommer att komma en uppgift av den här typen på varje nationellt prov, det vågar jag lova. Detaljerna skiljer, men strukturen är densamma.

Kalla höjden för h. Det gäller fortfarande att de fyra sidoytorna och bottenarean tillsammans har arean 216 kvadratcentimeter.

Skriv en ekvation som visar att de fyra sidoytorna plus bottenarean har arean 216 kvadratcentimeter. Lös ut h. Då har du fått fram ett samband mellan höjden h och bottenytans sida x. Använd det för att skriva ett uttryck för volymen. Derivera det uttrycket, sätt derivatan lika med 0 och beräkna x.

 Okej, ska lösa det i de steg du nämner.. Men varför bör jag skriva x och h när jag vet värdet på dem? Jag löste ut x:et och h är 19 cm. Va är det som jag behöver göra i b) uppgiften? Jag behöver förstå frågan? Bör jag hitta dimensioner? (höjd, bredd och längd)? 

Laguna Online 30482
Postad: 2 dec 2018 20:47

De kunde ha varit tydligare, men det som gäller i både a och b är det som står före a. Det som står i a behöver inte gälla i b. 

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 20:54
Laguna skrev:

De kunde ha varit tydligare, men det som gäller i både a och b är det som står före a. Det som står i a behöver inte gälla i b. 

 Aha.. Trodde de hör ihop.. Är mitt svar i a) rätt? 

Laguna Online 30482
Postad: 2 dec 2018 20:55
R.i.Al skrev:
Laguna skrev:

De kunde ha varit tydligare, men det som gäller i både a och b är det som står före a. Det som står i a behöver inte gälla i b. 

 Aha.. Trodde de hör ihop.. Är mitt svar i a) rätt? 

Jag tror det. 

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:03
Smaragdalena skrev:

Detta är den mest standardmässiga uppgiften i Ma3. Det kommer att komma en uppgift av den här typen på varje nationellt prov, det vågar jag lova. Detaljerna skiljer, men strukturen är densamma.

Kalla höjden för h. Det gäller fortfarande att de fyra sidoytorna och bottenarean tillsammans har arean 216 kvadratcentimeter.

Skriv en ekvation som visar att de fyra sidoytorna plus bottenarean har arean 216 kvadratcentimeter. Lös ut h. Då har du fått fram ett samband mellan höjden h och bottenytans sida x. Använd det för att skriva ett uttryck för volymen. Derivera det uttrycket, sätt derivatan lika med 0 och beräkna x.

 fattar inte hur bör jag göra sen...

Du säger att en sådan fråga kan komma på nationella provet, så snälla jag vill förstå va är det jag räknar här, vill inte bara räkna ut det utan förståelse.. Ät det dimensioner, max volym.. Eller? Varför bör jag använda derivatan här? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 2 dec 2018 21:05

I a-uppgiften vet du att höjden är 19 cm, i b-uppgiften skall du ta reda på vilket värde på höjden som ger den största volymen. Du kan ha nytta av de beräkningar du gjorde i a-uppgiften när du löser b-uppgiften (men det går att lösa b-uppgiften utan att göra a-uppgiften).

Laguna Online 30482
Postad: 2 dec 2018 21:08

Nu när du har h kan du bilda ett uttryck för volymen. 

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:11 Redigerad: 2 dec 2018 21:13

Fel räknat. Raderat inlägg

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:15

fastnat här igen

Alan123 278 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 21:17

du glömmer x:et i nämnaren, ska stå 4x. 

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:18 Redigerad: 2 dec 2018 21:22
Smaragdalena skrev:

I a-uppgiften vet du att höjden är 19 cm, i b-uppgiften skall du ta reda på vilket värde på höjden som ger den största volymen. Du kan ha nytta av de beräkningar du gjorde i a-uppgiften när du löser b-uppgiften (men det går att lösa b-uppgiften utan att göra a-uppgiften).

 Fattar fortfarande ej. Vill de att jag ska ta reda på vilket värde på höjden som ger största volym? Då kan det vara va som helst.. Ju längre höjd desto större volym utan slut... Hehe

Dessutom sa någon att det som stör i a) behöver inte gälla i b) 

Alan123 278 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 21:18

så du får: x2216-x24x=V

Alan123 278 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 21:20

Ja, men rätblocket har en maximal volym som inte kan bli mer än maxvärdet, som ges vid ett visst h.

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:27
Alan123 skrev:

Ja, men rätblocket har en maximal volym som inte kan bli mer än maxvärdet, som ges vid ett visst h.

När h värdet som är 19 cm är angiven i a) uppgift då ger den den maximal volym som jag kom fram till, 143 cm^3. Va är det då de är ute efter i b) uppgift 

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:29
Alan123 skrev:

du glömmer x:et i nämnaren, ska stå 4x. 

 

Juste, ursäkta mig jag rättar till.. 

Alan123 278 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 21:31

I upg a) är det givet att du ska bestämma volymen då h är 19 cm. I b) ska du beräkna h, utifrån en maxvolym.

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:34

Alan123 278 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 21:37

 

Ja, du får rätt svar.

x2*216-x24x=x216-x24=216x-x34

Trinity 191 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 21:38 Redigerad: 2 dec 2018 21:43

Edit: Slarvfel... V''(x)=–6x... men resonemanget kvarstår.

Edit 2: cm^3 bör anges i svaret. Huruvida ovanstående är en giltig lösning för NP låter jag andra, mer initierade, bedöma. Det finns säkert ett mindre regelverk hur dessa lösningar skall utformas för att få full poäng.

R.i.Al 611
Postad: 2 dec 2018 21:57 Redigerad: 2 dec 2018 21:57
Trinity skrev:

Edit: Slarvfel... V''(x)=–6x... men resonemanget kvarstår.

Edit 2: cm^3 bör anges i svaret. Huruvida ovanstående är en giltig lösning för NP låter jag andra, mer initierade, bedöma. Det finns säkert ett mindre regelverk hur dessa lösningar skall utformas för att få full poäng.

 I fjärde steg där du skrev uttrycket för h värde, du skrev bara x i nämnaren, vart försvann 4   

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 23:18

Hej!

Få se om mitt inlägg ökar din förståelse.

  • En låda utan lock har en kvadratisk basyta; lådans höjd är HH centimeter och lådans basyta är B2B^2 kvadratcentimeter. 
  • Lådans sidoytor är rektanglar vars area är B·HB \cdot H kvadratcentimeter; tillsammans är lådans fem ytor 4·BH+B24 \cdot BH + B^2 kvadratcentimeter. 
  • Du vet att den sammanlagda arean är 216216 kvadratcentimeter, vilket betyder att BB och HH är relaterade via ekvationen

        216=4BH+B2H=(216-B2)/4B216 = 4BH + B^2 \iff H = (216-B^2)/4B.

Lådans volym (VV) är lika med B2·HB^2\cdot H kubikcentimeter och kan skrivas som en funktion av BB.

    V(B)=B2·216-B24B=B4·(216-B2)V(B) = B^2 \cdot \frac{216-B^2}{4B} = \frac{B}{4} \cdot (216 - B^2).

  • När B=0B = 0 centimeter är förstås volymen V(0)=0V(0) = 0 kubikcentimeter.
  • När B2=216B^2 = 216 kvadratcentimeter är volymen V(216)=0V(\sqrt{216}) = 0 eftersom då är höjden H=0H = 0

Någonstans mellan dessa värden 0<B<2160 < b=""><> antar volymen sitt största värde. Frågan är var någonstans?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 2 dec 2018 23:31

Om volymen är maximal när B=B*B = B^* så är derivatan V'(B*)=0V'(B^*) = 0. Med hjälp av Produktregeln för derivering beräknas volymfunktionens derivata till funktionen

    V'(B)=14·(216-B2)+B4·(-2B)V'(B)=14(216-3B2).V'(B) = \frac{1}{4} \cdot (216-B^2) + \frac{B}{4} \cdot (-2B) \iff V'(B) = \frac{1}{4}(216-3B^2).  

Du ser att ekvationen V'(B)=0V'(B) = 0 är samma sak som ekvationen 216-3B2=0216 - 3B^2 = 0 och den enda positiva lösningen till denna ekvation är

    B=216/3=72=2·4·9=62B = \sqrt{216/3} = \sqrt{72} = \sqrt{2\cdot 4 \cdot 9} = 6\sqrt{2}.

Om volymen är maximal någonstans överhuvudtaget så måste den vara det när B=62B = 6\sqrt{2} centimeter. 

  • Lådans botten (B2B^2) är 2424 kvadratcentimeter och lådans höjd (HH) är 424\sqrt{2} centimeter.
R.i.Al 611
Postad: 4 dec 2018 19:04 Redigerad: 4 dec 2018 19:06
Albiki skrev:

Hej!

Få se om mitt inlägg ökar din förståelse.

  • En låda utan lock har en kvadratisk basyta; lådans höjd är HH centimeter och lådans basyta är B2B^2 kvadratcentimeter. 
  • Lådans sidoytor är rektanglar vars area är B·HB \cdot H kvadratcentimeter; tillsammans är lådans fem ytor 4·BH+B24 \cdot BH + B^2 kvadratcentimeter. 
  • Du vet att den sammanlagda arean är 216216 kvadratcentimeter, vilket betyder att BB och HH är relaterade via ekvationen

        216=4BH+B2H=(216-B2)/4B216 = 4BH + B^2 \iff H = (216-B^2)/4B.

Lådans volym (VV) är lika med B2·HB^2\cdot H kubikcentimeter och kan skrivas som en funktion av BB.

    V(B)=B2·216-B24B=B4·(216-B2)V(B) = B^2 \cdot \frac{216-B^2}{4B} = \frac{B}{4} \cdot (216 - B^2).

  • När B=0B = 0 centimeter är förstås volymen V(0)=0V(0) = 0 kubikcentimeter.
  • När B2=216B^2 = 216 kvadratcentimeter är volymen V(216)=0V(\sqrt{216}) = 0 eftersom då är höjden H=0H = 0

Någonstans mellan dessa värden 0<b=""><>0 < b=""><> antar volymen sitt största värde. Frågan är var någonstans?

Hmm ok.. Det ser inte så enkelt ut. Jag löste frågan på mitt sätt, hoppas det är rätt som jag har förstått..

Alan123 278 – Fd. Medlem
Postad: 4 dec 2018 21:07
R.i.Al skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Få se om mitt inlägg ökar din förståelse.

  • En låda utan lock har en kvadratisk basyta; lådans höjd är HH centimeter och lådans basyta är B2B^2 kvadratcentimeter. 
  • Lådans sidoytor är rektanglar vars area är B·HB \cdot H kvadratcentimeter; tillsammans är lådans fem ytor 4·BH+B24 \cdot BH + B^2 kvadratcentimeter. 
  • Du vet att den sammanlagda arean är 216216 kvadratcentimeter, vilket betyder att BB och HH är relaterade via ekvationen

        216=4BH+B2H=(216-B2)/4B216 = 4BH + B^2 \iff H = (216-B^2)/4B.

Lådans volym (VV) är lika med B2·HB^2\cdot H kubikcentimeter och kan skrivas som en funktion av BB.

    V(B)=B2·216-B24B=B4·(216-B2)V(B) = B^2 \cdot \frac{216-B^2}{4B} = \frac{B}{4} \cdot (216 - B^2).

  • När B=0B = 0 centimeter är förstås volymen V(0)=0V(0) = 0 kubikcentimeter.
  • När B2=216B^2 = 216 kvadratcentimeter är volymen V(216)=0V(\sqrt{216}) = 0 eftersom då är höjden H=0H = 0

Någonstans mellan dessa värden 0<b=""><>0 < b=""><> antar volymen sitt största värde. Frågan är var någonstans?

Hmm ok.. Det ser inte så enkelt ut. Jag löste frågan på mitt sätt, hoppas det är rätt som jag har förstått..

 

Snyggt!

Du har helt rätt.

 h=32x=62

R.i.Al 611
Postad: 4 dec 2018 23:41
Alan123 skrev:
R.i.Al skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Få se om mitt inlägg ökar din förståelse.

  • En låda utan lock har en kvadratisk basyta; lådans höjd är HH centimeter och lådans basyta är B2B^2 kvadratcentimeter. 
  • Lådans sidoytor är rektanglar vars area är B·HB \cdot H kvadratcentimeter; tillsammans är lådans fem ytor 4·BH+B24 \cdot BH + B^2 kvadratcentimeter. 
  • Du vet att den sammanlagda arean är 216216 kvadratcentimeter, vilket betyder att BB och HH är relaterade via ekvationen

        216=4BH+B2H=(216-B2)/4B216 = 4BH + B^2 \iff H = (216-B^2)/4B.

Lådans volym (VV) är lika med B2·HB^2\cdot H kubikcentimeter och kan skrivas som en funktion av BB.

    V(B)=B2·216-B24B=B4·(216-B2)V(B) = B^2 \cdot \frac{216-B^2}{4B} = \frac{B}{4} \cdot (216 - B^2).

  • När B=0B = 0 centimeter är förstås volymen V(0)=0V(0) = 0 kubikcentimeter.
  • När B2=216B^2 = 216 kvadratcentimeter är volymen V(216)=0V(\sqrt{216}) = 0 eftersom då är höjden H=0H = 0

Någonstans mellan dessa värden 0<b=""><>0 < b=""><> antar volymen sitt största värde. Frågan är var någonstans?

Hmm ok.. Det ser inte så enkelt ut. Jag löste frågan på mitt sätt, hoppas det är rätt som jag har förstått..

 

Snyggt!

Du har helt rätt.

 h=32x=62

 Äntligen.. Tack :) 

Trinity 191 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2018 07:21
R.i.Al skrev:
Trinity skrev:

Edit: Slarvfel... V''(x)=–6x... men resonemanget kvarstår.

Edit 2: cm^3 bör anges i svaret. Huruvida ovanstående är en giltig lösning för NP låter jag andra, mer initierade, bedöma. Det finns säkert ett mindre regelverk hur dessa lösningar skall utformas för att få full poäng.

 I fjärde steg där du skrev uttrycket för h värde, du skrev bara x i nämnaren, vart försvann 4   

Mitt fel! Slarv! 

Trinity 191 – Fd. Medlem
Postad: 5 dec 2018 07:47
R.i.Al skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Få se om mitt inlägg ökar din förståelse.

  • En låda utan lock har en kvadratisk basyta; lådans höjd är HH centimeter och lådans basyta är B2B^2 kvadratcentimeter. 
  • Lådans sidoytor är rektanglar vars area är B·HB \cdot H kvadratcentimeter; tillsammans är lådans fem ytor 4·BH+B24 \cdot BH + B^2 kvadratcentimeter. 
  • Du vet att den sammanlagda arean är 216216 kvadratcentimeter, vilket betyder att BB och HH är relaterade via ekvationen

        216=4BH+B2H=(216-B2)/4B216 = 4BH + B^2 \iff H = (216-B^2)/4B.

Lådans volym (VV) är lika med B2·HB^2\cdot H kubikcentimeter och kan skrivas som en funktion av BB.

    V(B)=B2·216-B24B=B4·(216-B2)V(B) = B^2 \cdot \frac{216-B^2}{4B} = \frac{B}{4} \cdot (216 - B^2).

  • När B=0B = 0 centimeter är förstås volymen V(0)=0V(0) = 0 kubikcentimeter.
  • När B2=216B^2 = 216 kvadratcentimeter är volymen V(216)=0V(\sqrt{216}) = 0 eftersom då är höjden H=0H = 0

Någonstans mellan dessa värden 0<b=""><>0 < b=""><> antar volymen sitt största värde. Frågan är var någonstans?

Hmm ok.. Det ser inte så enkelt ut. Jag löste frågan på mitt sätt, hoppas det är rätt som jag har förstått..

Prydligt. Men hoppa över beräkningar med negativa x. Det tar bara tid. Teckenstudie är bra, men andraderivata snabbare i detta fallet. Hjälper dig att spara tid på prov. 

R.i.Al 611
Postad: 8 dec 2018 20:23
Trinity skrev:
R.i.Al skrev:
Albiki skrev:

Hej!

Få se om mitt inlägg ökar din förståelse.

  • En låda utan lock har en kvadratisk basyta; lådans höjd är HH centimeter och lådans basyta är B2B^2 kvadratcentimeter. 
  • Lådans sidoytor är rektanglar vars area är B·HB \cdot H kvadratcentimeter; tillsammans är lådans fem ytor 4·BH+B24 \cdot BH + B^2 kvadratcentimeter. 
  • Du vet att den sammanlagda arean är 216216 kvadratcentimeter, vilket betyder att BB och HH är relaterade via ekvationen

        216=4BH+B2H=(216-B2)/4B216 = 4BH + B^2 \iff H = (216-B^2)/4B.

Lådans volym (VV) är lika med B2·HB^2\cdot H kubikcentimeter och kan skrivas som en funktion av BB.

    V(B)=B2·216-B24B=B4·(216-B2)V(B) = B^2 \cdot \frac{216-B^2}{4B} = \frac{B}{4} \cdot (216 - B^2).

  • När B=0B = 0 centimeter är förstås volymen V(0)=0V(0) = 0 kubikcentimeter.
  • När B2=216B^2 = 216 kvadratcentimeter är volymen V(216)=0V(\sqrt{216}) = 0 eftersom då är höjden H=0H = 0

Någonstans mellan dessa värden 0<b=""><>0 < b=""><> antar volymen sitt största värde. Frågan är var någonstans?

Hmm ok.. Det ser inte så enkelt ut. Jag löste frågan på mitt sätt, hoppas det är rätt som jag har förstått..

Prydligt. Men hoppa över beräkningar med negativa x. Det tar bara tid. Teckenstudie är bra, men andraderivata snabbare i detta fallet. Hjälper dig att spara tid på prov. 

 Jag räknade negativa x för att få bild på derivatan runt nollställen... Men med andra derivatan får man bara extrempunkterna, inte hur kurvan ser ut runt de kordinater eller hur

Svara
Close